Chủ đề này có 1 trả lời

[Jiki Watanabe]

Chứng minh rằng $1^3+2^3+3^3+...+n^3=(1+2+3+...+n)^2$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jiki Watanabe: 06-05-2018 - 16:35

[trambau]

Chứng minh rằng $1^3+2^3+3^3+...+n^3=(1+2+3+...+n)^2$ 

Tính dùng cấp số nhân với cấp số cộng nhưng sợ các em chưa học, xài tạm quy nạp vậy

Với n =1 đẳng thức luôn đúng

giả sử đẳng thức đúng với $n=k$ hay $1^3+2^3+3^3+...+k^3=(1+2+3+...+k)^2$ 

bây giờ chứng minh đúng với $n=k+1$ 

hay cần chứng minh $1^3+2^3+3^3+...k^3 + (k+1)^3 = (1+2 + 3 +4 .. + k + k+1)^2$ 

ta có công thức $1+2+3+4+...+n = \frac{n(n+1)}{2}$

$\Rightarrow (1+2+3+4+...+n)^2 = \frac{(n^2+n)^2}{4}$
đẳng thức cần chứng minh tương đương 
$\frac{(k^2+k)^2}{4} + (k+1)^3 = \frac{(k^2+3k+2)^2}{4}$
$\Leftrightarrow (k^2+3k+2)^2 - (k^2+k)^2 = 4(k+1)^3$

Nhân tung ra biến đổi được $\Leftrightarrow 4(k+1)^3 = 4(k+1)^3$ theo quy nạp => đpcm