Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh
$\frac{1}{a(1+b)}+\frac{1}{b(1+c)}+\frac{1}{c(1+a)}\geq \frac{3}{1+abc}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HelpMeImDying: 07-05-2018 - 22:07
$\frac{1}{a(1+b)}+\frac{1}{b(1+c)}+\frac{1}{c(1+a)}\geq \frac{3}{1+abc}$
Bắt đầu bởi HelpMeImDying, 07-05-2018 - 21:53
#1
Đã gửi 07-05-2018 - 21:53
HelpMeImDying
-
- Thành viên
-
- 108 Bài viết
Trung sĩ
#2
Đã gửi 07-05-2018 - 22:49
MoMo123
-
- Điều hành viên THCS
-
- 334 Bài viết
Sĩ quan
Đặt $abc=t^3$ ta có: $t^3+1=(t+1)(t^2-t+1) \geq t(t+1)$$\Rightarrow \frac{3}{t^3+1}\leq \frac{3}{t^2+t}$
Đặt $a=\frac{ty}{x}; b=\frac{tz}{y}; c=\frac{tx}{z}$ ta có
$VT=\frac{1}{t}(\sum \frac{x}{tz+y}) \geq \frac{1}{t}.\frac{(\sum x)^2}{(t+1)(xy+yz+zx)} \geq \frac{3}{t(t+1)} \geq \frac{3}{t^3+1}$
- Tea Coffee, nguyenbaohoang0208, Khoa Linh và 5 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 27-04-2021 - 15:07
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh
$\frac{1}{a(1+b)}+\frac{1}{b(1+c)}+\frac{1}{c(1+a)}\geq \frac{3}{1+abc}$
$\sum_{cyc}\frac{1}{a(b+1)}-\frac{3}{1+abc}=\sum_{cyc}\frac{(ab-1)^2}{a(a+1)(b+1)(abc+1)}\geqslant 0$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
