4 replies to this topic

[Silverbullet069]

Bài 1 : Số tất cả các cách khác nhau để viết số 20 thành tổng của 8 số tự nhiên lẻ (không tính đến thứ tự các số trong tổng).

Bài 2 : Viết các số nguyên 2,2,5,5,8,9 lên 6 tấm bìa. Từ 6 tấm bìa này, ta chọn một số lượng tùy ý các tấm bìa rồi tính tổng các số ghi trên các tấm bìa được chọn. Trong các tổng đã tính như thế, hỏi rằng từ 1 đến 31, có bao nhiêu số nguyên không thể xuất hiện (mỗi số nguyên là một tổng mà ta đã tính theo cách trên)?

Edited by Silverbullet069, 12-05-2018 - 20:37.

[Puisunjouronestledumonde]

Bài 1 : Số tất cả các cách khác nhau để viết số 20 thành tổng của 8 số tự nhiên lẻ (không tính đến thứ tự các số trong tổng).

Hàm sinh cho mỗi số tự nhiên lẻ:

$A(x)=x+x^{3}+x^{5}+x^{7}+....$

Theo qui tắc xoắn:

$F(x)=\left ( x+x^{3}+x^{5}+x^{7}+.... \right )^{8}=x^{8}\left ( 1+x^{2}+x^{4}+x^{6}+... \right )^{8}=x^{8}\left ( \frac{1}{1-x^{2}} \right )^{8}$

Số cách viết thỏa yêu cầu là hệ số của $x^{20-8}=x^{12}$ trong $ \left ( \frac{1}{1-x^{2}} \right )^{8}$

Đặt $z=x^{2}\Rightarrow x^{12}=z^{\frac{12}{2}}=z^{6}$

thì số cách viết thỏa yêu cầu là hệ số của $z^{6}$ trong $\left ( \frac{1}{1-z} \right )^{8}$

Áp dụng công thức $\left ( \frac{1}{1-z} \right )^{r}=\sum_{k=0}^{\infty }C_{k+r-1}^{r-1}z^{k}$ thì hệ số của $z^{6} $ là $ C_{6+8-1}^{8-1}=C_{13}^{7}=1716$

Vậy có $1716$ cách viết thỏa yêu cầu.

[chanhquocnghiem]

Bài 1 : Số tất cả các cách khác nhau để viết số 20 thành tổng của 8 số tự nhiên lẻ (không tính đến thứ tự các số trong tổng).

Gọi $8$ số tự nhiên lẻ lần lượt là $2a_1+1,2a_2+1,...,2a_8+1$, trong đó $a_1,a_2,...,a_8\in \mathbb{N}$ và $a_1\geqslant a_2\geqslant ...\geqslant a_8$

Ta có $(2a_1+1)+(2a_2+1)+...+(2a_8+1)=20$

$\Leftrightarrow a_1+a_2+...+a_8=6$ ($a_1\geqslant a_2\geqslant ...\geqslant a_8$ và $0\leqslant a_1,a_2,...,a_8\leqslant 6$)

 

Đáp án bài này cũng là đáp án bài toán tương tự sau :

Một cửa hàng muốn tặng cho khách hàng phiếu quà tặng trị giá $600000$ đ. Cửa hàng có các loại phiếu mệnh giá $100000$ đ, $200000$ đ, $300000$ đ, $400000$ đ, $500000$ đ, $600000$ đ (mỗi loại mệnh giá có trên $6$ tờ)

Hỏi cửa hàng có bao nhiêu cách tặng ?

 

GIẢI :

a) Nếu cửa hàng chỉ dùng 1 loại mệnh giá thì có $4$ cách (vì $6$ có $4$ ước dương)

b) Nếu cửa hàng dùng đúng 2 loại mệnh giá :

    Số cách sẽ là số nghiệm nguyên dương của phương trình $ax+zy=6$ ($z> a> 0$)

    + Nếu $a=1$ : Có $5$ nghiệm

    + Nếu $a=2$ : Có $1$ nghiệm

    + Nếu $a> 2$ : Vô nghiệm

c) Nếu cửa hàng dùng đúng 3 loại mệnh giá :

    Số cách là số nghiệm nguyên dương của phương trình $x+y+z=6$ ($x> y> z$) : $1$ cách

 

Vậy đáp án bài này (và cả bài ở trên) là $11$ cách.

[Puisunjouronestledumonde]

Cám ơn anh. Em đã tính có thứ tự...

Edited by Puisunjouronestledumonde, 07-06-2018 - 11:20.

[Nobodyv3]

Em xin phép mượn :

Gọi $8$ số tự nhiên lẻ lần lượt là $2a_1+1,2a_2+1,...,2a_8+1$, trong đó $a_1,a_2,...,a_8\in \mathbb{N}$ và $a_1\geqslant a_2\geqslant ...\geqslant a_8$
Ta có $(2a_1+1)+(2a_2+1)+...+(2a_8+1)=20$
$\Leftrightarrow a_1+a_2+...+a_8=6$ ($a_1\geqslant a_2\geqslant ...\geqslant a_8$ và $0\leqslant a_1,a_2,...,a_8\leqslant 6$)

Tức là ta đi tính số nghiệm của :
$$\begin {cases}
a_1+a_2+...+a_8=6\\ (a_1\geqslant a_2\geqslant ...\geqslant a_8) \wedge (0\leqslant a_1,a_2,...,a_8\leqslant 6)
\end{cases}$$Ta có hàm sinh :
$\begin {align*}
f(x)&=(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)(1+x^2+x^4+x^6)(1+x^3+x^6)(1+x^4)(1+x^5)(1+x^6)\\
&=\frac {(1-x^7)(1-x^8)(1-x^9)(1-x^8)(1-x^{10})(1-x^{12})}{(1-x)(1-x^2)(1-x^3)(1-x^4)(1-x^5)(1-x^6)}\\
\Longrightarrow [x^6]f(x)&=\boldsymbol {11}
\end {align*}$

Edited by Nobodyv3, 18-02-2023 - 22:58.