Chủ đề này có 9 trả lời

[sinh vien]

 Bài toán chéo hóa.pdf   464.85K   577 Số lần tải

 Điều kiện cần và đủ để tam giác hóa một tự đồng cấu.pdf   217.8K   479 Số lần tải

[vutuanhien]

Bài toán chéo hóa.pdf

Điều kiện cần và đủ để tam giác hóa một tự đồng cấu.pdf

Thứ nhất, mình đã nhắc nhở bạn/anh rằng làm thế này rất loãng box mà không có nhiều tác dụng. Không mấy ai học Toán ở đại học mà lại cần đến vài file lẻ tẻ như thế này cả. Những thứ như thế anh nên tự đăng lên blog của riêng anh, chứ Diễn đàn không phải nơi để chứa tài liệu. Còn nếu muốn đăng trên Diễn đàn, tại sao anh không đăng vào các box tương ứng, chẳng hạn đăng đề bài vào mục Đại số tuyến tính để cho người khác có thể vào thảo luận, như thế còn có ích hơn.

 

Thứ hai, việc nói $P_{f}$ tách được là hoàn toàn không chính xác, vì các giá trị riêng của $f$ hoàn toàn có thể có bội. Nếu $P_{f}$ là đa thức tách được, thì bản thân $f$ chéo hóa được luôn chứ không cần tam giác hóa. Điều kiện đúng ở đây chỉ cần $P_{f}$ có đủ nghiệm trong trường $\mathbb{K}$ là đủ. 

 

Thứ ba, nhân tiện bài này, mình cũng nêu ra một mệnh đề về tam giác hóa được để cho bạn/anh thử sức: Một tự đồng cấu $f:V\to V$ của không gian vector $n$ chiều $V$ là tam giác hóa được khi và chỉ khi tồn tại các không gian con $f$-ổn định $V_{1}\subseteq V_{2}\subseteq \dots \subseteq V_{n}$ sao cho $\dim(V_{i})=i$ với mọi $i=1,2,\dots, n$. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 14-05-2018 - 19:29

[sinh vien]

Điểm thứ nhất, thứ ba thì mình rất vui lòng lắng nghe sự đóng góp ý kiến tận tình của bạn, đặc biệt là điều thứ ba rất thú vị bởi vì nó là hướng tiếp cận trên ngôn ngữ thuần túy của không gian vector cho bài toán chéo hóa ma trận và khá kinh điển tìm đọc được ở nhiều tài liệu. Nhưng còn về điểm thứ nhì thì bạn có vẻ hơi hiểu sai về mặt thuật ngữ với vấn đề một chút, xin chỉnh lại tí xíu thôi. Vì mình xét trên một trường K tổng quát nên một đa thức có thể không phải lúc nào cũng tách được và khi tách được thì cũng không chắc gì là  số chiều của các không gian con riêng sẽ bằng với số bội của trị riêng tương ứng, cái này thì từng cái cụ thể mình mới có thể tính được số chiều của từng không gian con chỉ duy nhất khi các nghiệm đều có bội 1 thì hai thứ này luôn luôn trùng nhau mình có chỉ ra rồi. Tách được ở đây muốn chỉ rằng ta có thể phân tích đa thức đó thành tích các nhân tử bậc nhất đó bạn, Nói tóm lại là dùng tính tách thôi là ok trong vụ tam giác hóa rồi chứ cần quan tâm gì đến ba cái bội làm gì cho rắc rối, nếu mà có thêm được số chiều của không gian con riêng số bội của trị riêng tương ứng thì mới ok chéo hóa được. 

[vutuanhien]

Điểm thứ nhất, thứ ba thì mình rất vui lòng lắng nghe sự đóng góp ý kiến tận tình của bạn, đặc biệt là điều thứ ba rất thú vị bởi vì nó là hướng tiếp cận trên ngôn ngữ thuần túy của không gian vector cho bài toán chéo hóa ma trận và khá kinh điển tìm đọc được ở nhiều tài liệu. Nhưng còn về điểm thứ nhì thì bạn có vẻ hơi hiểu sai về mặt thuật ngữ với vấn đề một chút, xin chỉnh lại tí xíu thôi. Vì mình xét trên một trường K tổng quát nên một đa thức có thể không phải lúc nào cũng tách được và khi tách được thì cũng không chắc gì là  số chiều của các không gian con riêng sẽ bằng với số bội của trị riêng tương ứng, cái này thì từng cái cụ thể mình mới có thể tính được số chiều của từng không gian con chỉ duy nhất khi các nghiệm đều có bội 1 thì hai thứ này luôn luôn trùng nhau mình có chỉ ra rồi. Tách được ở đây muốn chỉ rằng ta có thể phân tích đa thức đó thành tích các nhân tử bậc nhất đó bạn, Nói tóm lại là dùng tính tách thôi là ok trong vụ tam giác hóa rồi chứ cần quan tâm gì đến ba cái bội làm gì cho rắc rối, nếu mà có thêm được số chiều của không gian con riêng số bội của trị riêng tương ứng thì mới ok chéo hóa được. 

Mình cho là có sự bất đồng về thuật ngữ ở đây. Khái niệm đa thức tách được mà bạn dùng, mình chỉ gọi là đa thức có đủ nghiệm.

 

Mình dùng thuật ngữ "đa thức tách được" với ý nghĩa rằng tất cả các nghiệm của đa thức đều là nghiệm đơn. Ngoài ra còn một định nghĩa khác cho "đa thức tách được" là các nhân tử bất khả quy của đa thức đó chỉ có nghiệm đơn. Trong hai định nghĩa này, không có định nghĩa nào phù hợp với mệnh đề bạn đang xét. Ngoài ra, mình không đề cập gì đến số bội hay số chiều, bởi chỉ cần $P_{f}(X)$ có đủ nghiệm trên $\mathbb{K}$ là được.

https://en.wikipedia...able_polynomial

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 15-05-2018 - 17:04

[sinh vien]

nếu bạn hiểu một đa thức là tách được khi tât cả các nghiệm đều là nghiệm đơn thì đã kể đến số bội của đa thức đó rồi chứ ! Mà đặc biệt là số bội bằng 1 hết nên thành ra số chiều cũng vậy. Mình sử dụng định nghĩa về tính tách được theo lối thứ hai: mọi nhân tử bất khả quy đều có nghiệm đơn, còn mình viết cụ thể ra chứ không xài lối diễn đạt bằng ngôn ngữ. Bởi vì dùng theo lối này ta có thể khảo sát bài toán trong phạm vi tổng quát hơn chứ !

[vutuanhien]

nếu bạn hiểu một đa thức là tách được khi tât cả các nghiệm đều là nghiệm đơn thì đã kể đến số bội của đa thức đó rồi chứ ! Mà đặc biệt là số bội bằng 1 hết nên thành ra số chiều cũng vậy. Mình sử dụng định nghĩa về tính tách được theo lối thứ hai: mọi nhân tử bất khả quy đều có nghiệm đơn, còn mình viết cụ thể ra chứ không xài lối diễn đạt bằng ngôn ngữ. Bởi vì dùng theo lối này ta có thể khảo sát bài toán trong phạm vi tổng quát hơn chứ !

Nếu bạn sử dụng định nghĩa thứ hai, thì chưa chắc các nhân tử bất khả quy đã có bậc 1 trừ phi $\mathbb{K}$ là đóng đại số, chẳng hạn nếu  $P_{f}(X)=X^{2}+X+1$ trên $\mathbb{R}[X]$ thì $P_{f}$ là tách được trên $\mathbb{R}$ nhưng $f$ không tam giác hóa được. Tóm lại ý mình nói ở đây chỉ là sự bất đồng về thuật ngữ thôi, còn mệnh đề của bạn không có gì sai. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 16-05-2018 - 22:39

[nmlinh16]

cho mình hỏi bạn có hiểu khái niệm đa thức đặc trưng của một tự đồng cấu là gì không?

[sinh vien]

 dien

cho mình hỏi bạn có hiểu khái niệm đa thức đặc trưng của một tự đồng cấu là gì không?

đa thức đặc trưng của một tự đồng cấu là đa thức đặc trưng của ma trận biểu diễn của tự đồng cấu đó trên một cơ sở xác định

[nmlinh16]

Vậy bạn cho mình hỏi khi viết $f - \lambda \text{id}_X$ ở đây thì $\lambda$ được hiểu như một vô hướng hay một ẩn không xác định?

 

Chú ý nếu $\lambda$ được hiểu như một vô hướng thì việc nói $\det(f - \lambda \text{id}_X)$ là một đa thức bậc $n$ theo $\lambda$ là vô nghĩa, chẳng hạn khi trường cơ sở là trường $\mathbb{F}_p$, khi đó $\lambda^p = \lambda$, nên ta cũng có thể nói, chẳng hạn, $\det(f - \lambda \text{id}_X)$ là một đa thức bậc $n+p-1$.

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmlinh16: 10-07-2018 - 15:24

[sinh vien]

Ok, bạn đã phát hiện dùm mình một lỗi đánh máy quan trọng.