Chủ đề này có 1 trả lời

[E. Galois]

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn:

$$\dfrac{1}{a^2+b^2+4}+\dfrac{1}{b^2+c^2+4}+\dfrac{1}{c^2+a^2+4} \geq \dfrac{2}{3}$$

Chứng minh rằng $ab+bc+ca \leq \dfrac{3}{4}$.

[MoMo123]

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn:

$$\dfrac{1}{a^2+b^2+4}+\dfrac{1}{b^2+c^2+4}+\dfrac{1}{c^2+a^2+4} \geq \dfrac{2}{3}$$

Chứng minh rằng $ab+bc+ca \leq \dfrac{3}{4}$.

Em xin đưa ra lời giải

Ta có : $$\sum\frac{1}{a^2+b^2+4} \leq \sum\frac{2}{(a+b)^2+8}$$

$$\Rightarrow \sum \frac{1}{(a+b)^2+8} \geq \frac{1}{3}$$

Biến đổi BĐT , ta được $$\sum \frac{(a+b)^2}{(a+b)^2+8} \leq \frac{1}{3}$$

Đặt $a+b=x $ ;  $b+c=y$ ; $c+a=z$

Ta có $$\frac{1}{3}\geq \sum\frac{x^2}{x^2+8} \geq \frac{(x+y+z)^2}{\sum x^2+24}$$

$$\Rightarrow \frac{1}{3} \geq \frac{(x+y+z)^2}{\sum x^2+24}$$

$$\Leftrightarrow \sum x^2+\sum 3xy \leq 12$$ hay $$ xy+yz+zx\leq 3$$

$$xy+yz+zx=(a+b)(b+c)+(b+c)(c+a)+(c+a)(a+b) =\sum a^2+3\sum ab \geq 4\sum ab$$

Nên $3\geq 4(ab+bc+ca) $ Từ đó suy ra $$\frac{3}{4}\geq ab+bc+ca$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 18-05-2018 - 23:02