1 reply to this topic

[DangHongPhuc]

$y=f(x)$ liên tục trên $\left [ 0;1 \right ]$ thỏa mãn $xf'(x)+2f(1-x)=\frac{x}{1+\sqrt{1-x}}$ và $f(1)=1$

Tính $\int_{0}^{1}f(x)dx$

[htduongqt]

$y=f(x)$ liên tục trên $\left [ 0;1 \right ]$ thỏa mãn $xf'(x)+2f(1-x)=\frac{x}{1+\sqrt{1-x}}$ và $f(1)=1$

Tính $\int_{0}^{1}f(x)dx$

Giải: 

Đặt $I=\int_{0}^{1}{f(x)dx}$

- Dùng tích phân từng phần ta tính được:

$I=\int_{0}^{1}{f(x)dx}=\left. x.f(x) \right|_{0}^{1}-\int_{0}^{1}{x.f'(x)dx}=1-\int_{0}^{1}{x.f'(x)dx}\,\,\,(A)$

- Đổi biến bằng cách đặt $t=1-x$ ta được

$I=\int_{0}^{1}{f(x)dx}=-\int_{1}^{0}{f(1-t)dt}=\int_{0}^{1}{f(1-t)dt=\int_{0}^{1}{f(1-x)dx\,\,(B)}}$

Lấy $2(B)-(A)=I=\int_{0}^{1}{\left[ x.f'(x)+f(1-x) \right]}dx-1=\int_{0}^{1}{\frac{x}{1+\sqrt{1-x}}}dx-1$

Đến đây tự làm nhé (bằng cách nhân lượng liên hợp cho mẫu)

 

Edited by htduongqt, 22-05-2018 - 21:56.