Chủ đề này có 2 trả lời

[tambedexaucho]

Giải giúp e câu 5 ạ mng

 

Cho x,y,z là ba số thực thay đổi thỏa mãn $x^2+y^2+z^2 =1$

Tìm Max 

$$A=xy+yz+zx +\frac{1}{2}[x^2(y-z)^2 +y^2(z-x)^2+z^2(x-y)^2]$$

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 22-05-2018 - 14:41

[MoMo123]

Thay $x^2=1-y^2-z^2$ và tương tự các biến còn lại, ta được 

$$A=xy+yz+zx+\frac{1}{2}[x^2(y-z)^2+y^2(z-x)^2+z^2(x-y)^2]-\frac{1}{2}[(y^2+z^2)(y-z)^2+(z^2+x^2)(z-x)^2+(x^2+y^2)(x-y)^2] \leq x^2+y^2+z^2=1$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 22-05-2018 - 15:07

[KietLW9]

Ta có: $xy+yz+zx+\frac{1}{2}[x^2(y-z)^2+y^2(z-x)^2+z^2(x-y)^2]=xy+yz+zx+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 -x^2yz-xy^2z-xyz^2=x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+yz(1-x^2)+zx(1-y^2)+xy(1-z^2)=x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+yz(y^2+z^2)+zx(z^2+x^2)+xy(x^2+y^2)\leqslant x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+\frac{y^2+z^2}{2}(y^2+z^2)+\frac{z^2+x^2}{2}(z^2+x^2)+\frac{x^2+y^2}{2}(x^2+y^2)=\frac{2(x^4+y^4+x^4+2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2))}{2}= \frac{2(x^2+y^2+z^2)^2}{2}=1$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}$ hoặc $x=y=z=-\frac{1}{\sqrt{3}}$