1.Cho $\left\{\begin{matrix} cosx+cosy+coz=0 & & \\ cos3x+cos3y+cos3z=0 & & \end{matrix}\right.$. Chứng minh rằng $cos2x.cos2y.cos2z \leq 0$.
2.Cho $cosx+cosy+coz=0$ ; $sinx+siny+sinz=0$.Chứng minh rằng :
a) $sin2x+sin2y+sin2z=cos2x+cos2y+cos2z=0$
b) $sin(x+y+z)=\frac{sin3x+sin3y+sin3z}{3}$ và $cos(x+y+z)=\frac{cos3x+cos3y+cos3z}{3}$ .
Bài 1 có 2 cách giải quyết
Cách 1: Ta có công thức : $cos3x=4cos^3x-3cosx$
$\rightarrow cos3x+cos3y+cos3z=4(cos^3x+cos^3y+cos^3z)-3(cosx+cosy+cosz)=4(cos^3x+cos^3y+cos^3z)$
Do $cos3x+cos3y+cos3z=0 \Rightarrow cos^3x+cos^3y+cos^3z=0$ . Khi đó $cos^3x+cos^3y+cos^3z=3cosx.cosy.cosz=0$
$\begin{bmatrix} cosx=0 & & & \\ cosy=0 & & & \\ cosz=0 & & & \end{bmatrix}$
Không mất tính tổng quát, giả sử $cosx=0$ khi đó $cosz=-cosz$ Từ đó
$cos2x.cos2y.cos2z=(2cos^2x-1)(2cos^2y-1)(2cos^2z-1)=-(2cos^2z-1)^2\leq 0$
Cách 2 chứng minh tương tự c1 ta được $cos^3x+cos^3y+cos^3z=0$ (*)
Theo đề ta suy ra $cosx=-(cosy+cosz)$ thay vào (*) được $cos^2y.cosz+cosy.cos^2z=0\Leftrightarrow cosy.cosy(cosy+cosz)=0$
Nếu $cosy=0$ ta được $y=\frac{\pi}{2}+k\pi$ ( $k\in Z$) và $cosx=-cosz \Rightarrow x=(2k+1)\pi-z (k\in Z)$
$\Rightarrow cos2x.cos2y.cos2z=-cos^22z\leq 0$ tương tự với $cosz=0$
Nếu $cosy=-cosz$ làm tương tự cũng ra đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trambau: 26-05-2018 - 14:18