Help me
Cho a,b,c>1 và 1/a+1/b+1/c=2
$\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1}\leq \sqrt{a+b+c}$
(Olympic Iran 98)
$\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1} \leq \sqrt{a+b+c}$
Bắt đầu bởi VuTroc, 26-05-2018 - 17:31
bđt olympic 1998 iran 1998
#2
Đã gửi 26-05-2018 - 18:11
PhanThai0301
-
- Thành viên
-
- 167 Bài viết
Trung sĩ
Help me
Cho a,b,c>1 và 1/a+1/b+1/c=2
$\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1}\leq \sqrt{a+b+c}$
(Olympic Iran 98)
Vì $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2$ => $\frac{x-1}{x}+\frac{y-1}{y}+\frac{z-1}{z}=1$.
Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz ta có:
$x+y+z\doteq (x+y+z)(\frac{x-1}{x}+\frac{y-1}{y}+\frac{z-1}{z})\geq (\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1})^{2}$.
=> đpcm.
Dấu bằng "=" xảy ra khi x = y = z = 3/2.
- Tea Coffee, honglien và buingoctu thích
"IF YOU HAVE A DREAM TO CHASE,NOTHING NOTHING CAN STOP YOU"_M10
#3
Đã gửi 30-05-2018 - 09:22
DOTOANNANG
-
- ĐHV Toán Cao cấp
-
- 1609 Bài viết
Đại úy
Đặt $a,\,b,\,c= \frac{x+ y+ z}{y+ z},\,\frac{x+ y+ z}{z+ x},\,\frac{x+ y+ z}{x+ y}$ với $x,\,y,\,z>0$
Ta có $\sum\limits_{cyc}\sqrt{a- 1}= \sum\limits_{cyc}\sqrt{\frac{x}{y+ z}}\leqq \sqrt{\sum\limits_{cyc}x}\,\sqrt{\sum\limits_{cyc}\frac{1}{y+ z}}= \sqrt{\sum\limits_{cyc}a}$
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bđt, olympic 1998, iran 1998
|
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$M= \frac{1}{a^2 +4b^2 +2} + \frac{1}{4b^2+9c^2+2} + \frac{1}{9c^2+a^2+2}$Bắt đầu bởi katcong, 26-03-2024  bđt, toan 9, vao 10, cuc tri
|
|
|
|
|
|
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Chứng minh $a+b+c\geq4\left(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\right)+5$Bắt đầu bởi Leonguyen, 07-06-2023 bđt, bất đẳng thức
|
|
|
|
|
|
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTLN của $Q=(4x-1)(3y-1)(2z-1)$Bắt đầu bởi Leonguyen, 20-04-2023 bđt
|
|
|
|
|
|
 Solved
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTLN của $Q=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+3}}+\frac{x+1}{\sqrt{3x^2+1}}$Bắt đầu bởi Leonguyen, 30-03-2023 bđt, cực trị, bất đẳng thức
|
|
|
|
|
|
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Chứng Minh Rằng $\frac{1}{A^2} + \frac{1}{B^2} + \frac{1}{C^2} \geq 3$Bắt đầu bởi nguyetnguyet829, 16-03-2023 bđt
|
|
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
