Cho $a,b,c\geq 0$ thoả mãn: $a^2+b^2+c^2=1$
CMR $\frac{a+b}{1-ab}+\frac{b+c}{1-bc}+\frac{c+a}{1-ca}\leq 3(a+b+c)$
Cho $a,b,c\geq 0$ thoả mãn: $a^2+b^2+c^2=1$
CMR $\frac{a+b}{1-ab}+\frac{b+c}{1-bc}+\frac{c+a}{1-ca}\leq 3(a+b+c)$
$\large \mathbb{Conankun}$
Lời giải lượm được trên fb
Nguồn: @Mai Trang
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi conankun: 03-07-2018 - 13:35
$\large \mathbb{Conankun}$
(1) and (2) we get
$$3\,\sum\limits_{cyc}a- \sum\limits_{cyc}\frac{a+ b}{1- ab}= \sum\limits_{cyc}a- \sum\limits_{cyc}\frac{ab\left ( a+ b \right )}{1- ab}= \sum\limits_{cyc}a^{3}- \sum\limits_{cyc}\frac{a^{2}b^{2}\left ( a+ b \right )}{1- ab}\geqq \sum\limits_{cyc}a^{3}- 2\,\sum\limits_{cyc}\frac{a^{2}b^{2}\left ( a+ b \right )}{1+ c^{2}}$$
Đúng do $a^{2}+ b^{2}+ c^{2}= 1$, ta sẽ chứng minh: $\sum\limits_{cyc}a^{3}\geqq 2\,\sum\limits_{cyc}\frac{a^{2}b^{2}\left ( a+ b \right )}{1+ c^{2}}$ mà: $\frac{1}{1+ c^{2}}= \frac{1}{a^{2}+ c^{2}+ b^{2}+ c^{2}}\leqq \frac{1}{4}\left ( \frac{1}{a^{2}+ c^{2}}+ \frac{1}{b^{2}+ c^{2}} \right )$, kết hợp với:
$\sum\limits_{cyc}a^{3}- \frac{1}{2}\left ( \sum\limits_{cyc}\frac{a^{2}b^{2}\left ( a+ b \right )}{a^{2}+ c^{2}}+ \sum\limits_{cyc}\frac{a^{2}b^{2}\left ( a+ b \right )}{b^{2}+ c^{2}} \right )= \frac{1}{2}\sum\limits_{cyc}a^{2}b^{2}\left ( \frac{a- b}{b^{2}+ c^{2}}- \frac{a- b}{a^{2}+ c^{2}} \right )\geqq 0$
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{a\sqrt{bc}}{(\sqrt{ab}+\sqrt{ac})^2+b^2+c^2}+....$Bắt đầu bởi conankun, 13-07-2018 0404 |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$3(a+2)(b+2)(c+1)...$Bắt đầu bởi conankun, 12-07-2018 0404 |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{a(b+c)}{b^2+c^2}+...$Bắt đầu bởi conankun, 08-07-2018 0404 |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{a+b}{4+bc}+\frac{b+c}{4+ca}+\frac{c+a}{4+ab}\geq \frac{3}{2}$Bắt đầu bởi conankun, 05-06-2018 0404 |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
$P(x)=x(x+a)(x+b)(x+c)+1$ là số chính phươngBắt đầu bởi conankun, 04-06-2018 0404 |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh