Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{a+b}{1-ab}+\frac{b+c}{1-bc}+\frac{c+a}{1-ca}\leq 3(a+b+c)$

0404

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
conankun

conankun

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 377 Bài viết

Cho $a,b,c\geq 0$ thoả mãn: $a^2+b^2+c^2=1$

CMR $\frac{a+b}{1-ab}+\frac{b+c}{1-bc}+\frac{c+a}{1-ca}\leq 3(a+b+c)$


                       $\large \mathbb{Conankun}$


#2
conankun

conankun

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 377 Bài viết

Lời giải lượm được trên fb :)

Nguồn: @Mai Trang

Hình gửi kèm

  • BĐT_6.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi conankun: 03-07-2018 - 13:35

                       $\large \mathbb{Conankun}$


#3
Unrruly Kid

Unrruly Kid

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 113 Bài viết

206c37321428d297fa784da7e6778b1ee0e371649b35bd4d0ffab0874a59aea039a76755438d6d8ba8b87802fe734aac1fcaa4cf9d4924824842a670(1) and (2) we get9b80e26a309a1ae37852e3e1646fb7e9ddf19193


Đôi khi ngươi phải đau đớn để nhận thức, vấp ngã để trưởng thành, mất mát để có được, bởi bài học lớn nhất của cuộc đời được dạy bằng nỗi đau.

#4
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết

$$3\,\sum\limits_{cyc}a- \sum\limits_{cyc}\frac{a+ b}{1- ab}= \sum\limits_{cyc}a- \sum\limits_{cyc}\frac{ab\left ( a+ b \right )}{1- ab}= \sum\limits_{cyc}a^{3}- \sum\limits_{cyc}\frac{a^{2}b^{2}\left ( a+ b \right )}{1- ab}\geqq \sum\limits_{cyc}a^{3}- 2\,\sum\limits_{cyc}\frac{a^{2}b^{2}\left ( a+ b \right )}{1+ c^{2}}$$

 

Đúng do $a^{2}+ b^{2}+ c^{2}= 1$, ta sẽ chứng minh: $\sum\limits_{cyc}a^{3}\geqq 2\,\sum\limits_{cyc}\frac{a^{2}b^{2}\left ( a+ b \right )}{1+ c^{2}}$ mà: $\frac{1}{1+ c^{2}}= \frac{1}{a^{2}+ c^{2}+ b^{2}+ c^{2}}\leqq \frac{1}{4}\left ( \frac{1}{a^{2}+ c^{2}}+ \frac{1}{b^{2}+ c^{2}} \right )$, kết hợp với:

 

$\sum\limits_{cyc}a^{3}- \frac{1}{2}\left ( \sum\limits_{cyc}\frac{a^{2}b^{2}\left ( a+ b \right )}{a^{2}+ c^{2}}+ \sum\limits_{cyc}\frac{a^{2}b^{2}\left ( a+ b \right )}{b^{2}+ c^{2}} \right )= \frac{1}{2}\sum\limits_{cyc}a^{2}b^{2}\left ( \frac{a- b}{b^{2}+ c^{2}}- \frac{a- b}{a^{2}+ c^{2}} \right )\geqq 0$







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: 0404

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh