Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum \frac{a^{5}-a^{2}}{a^{5}+b^{2}+c^{2}}\geq 0$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1
pinocchio1923

pinocchio1923

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 7 Bài viết

1. Cho $ a, b, c> 0$

cmr:$\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{c}}+\frac{c}{\sqrt{a}}\geq 2\left ( \frac{a}{b+1}+\frac{b}{c+1}+\frac{c}{a+1} \right )$

2. Cho $a, b, c\geq 0$ và $a^{^{2}}+2b^{2}+3c^{^{2}}= 1$

Tìm giá trị nhỏ nhất của: $2a^{3}+3b^{3}+4c^{3}$

3. Cho a, b, c là các số thực dương.

cmr: $\sqrt{a(b+1)}+\sqrt{b(c+1)}+\sqrt{c(a+1)}\leq \frac{3}{2}\sqrt{(a+1)(b+1)(c+1)}$

4. Cho $ a, b, c> 0$.
cmr: $\frac{a^{6}}{b^{3}}+\frac{b^{6}}{c^{3}}+\frac{c^{6}}{a^{3}}\geq \frac{a^{4}}{c}+\frac{b^{4}}{a}+\frac{c^{4}}{b}$
5. Cho $ a, b, c> 0$ và $a+b+c=ab+bc+ca$
cmr: $\frac{1}{a^{2}+b+1}+\frac{1}{b^{2}+c+1}+\frac{1}{c^{2}+a+1}\leq 1 $
6. Cho $ a, b, c> 0$ thỏa $abc\leq 1$
cmr: $\sum \frac{a^{5}-a^{2}}{a^{5}+b^{2}+c^{2}}\geq 0$


#2
hoangkimca2k2

hoangkimca2k2

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 474 Bài viết

 

1. Cho $ a, b, c> 0$

cmr:$\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{c}}+\frac{c}{\sqrt{a}}\geq 2\left ( \frac{a}{b+1}+\frac{b}{c+1}+\frac{c}{a+1} \right )$

 

$\sqrt{b}\leq \frac{b+1}{2}...$


  N.D.P 

#3
hoangkimca2k2

hoangkimca2k2

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 474 Bài viết

 

2. Cho $a, b, c\geq 0$ và $a^{^{2}}+2b^{2}+3c^{^{2}}= 1$

Tìm giá trị nhỏ nhất của: $2a^{3}+3b^{3}+4c^{3}$

 

 

Ta có theo BDT $Holder:$$(2a^{3}+3b^{3}+4c^{3})(2a^{3}+3b^{3}+4c^{3})(\frac{1}{4}+\frac{8}{9}+\frac{27}{16})\geq (a^{2}+2b^{2}+3c^{2})^{3}$


  N.D.P 

#4
hoangkimca2k2

hoangkimca2k2

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 474 Bài viết

 

3. Cho a, b, c là các số thực dương.

cmr: $\sqrt{a(b+1)}+\sqrt{b(c+1)}+\sqrt{c(a+1)}\leq \frac{3}{2}\sqrt{(a+1)(b+1)(c+1)}$

 

 

Đề $\Leftrightarrow 2\sum \sqrt{\frac{a}{(c+1)(a+1)}}\leq 3$

Ta có: $\Leftrightarrow 2\sum \sqrt{\frac{a}{(c+1)(a+1)}}\leq \sum \frac{a}{a+1}+\sum \frac{1}{c+1}=3-\sum \frac{1}{a+1}+\sum \frac{1}{c+1}=3(Q.E.D)$


  N.D.P 

#5
hoangkimca2k2

hoangkimca2k2

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 474 Bài viết

 

5. Cho $ a, b, c> 0$ và $a+b+c=ab+bc+ca$
cmr: $\frac{1}{a^{2}+b+1}+\frac{1}{b^{2}+c+1}+\frac{1}{c^{2}+a+1}\leq 1 $
 

 

Ta có: $(a^{2}+b+1)(1+b+c^{2})\geq (a+b+c)^{2}...$


  N.D.P 

#6
hoangkimca2k2

hoangkimca2k2

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 474 Bài viết

4. Cho $ a, b, c> 0$.

cmr: $\frac{a^{6}}{b^{3}}+\frac{b^{6}}{c^{3}}+\frac{c^{6}}{a^{3}}\geq \frac{a^{4}}{c}+\frac{b^{4}}{a}+\frac{c^{4}}{b}$
 

 

Theo $AM-GM$ ta có: $\frac{a^{6}}{b^{3}}+\frac{a^{6}}{b^{3}}+\frac{b^{6}}{c^{3}}\geq 3\frac{a^{4}}{c}...$


  N.D.P 

#7
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết

$4\,.$

$$\Leftrightarrow \left [ 6,\,-3 \right ]\succ \left [ 4,\,-1 \right ] $$



#8
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

6. Cho $ a, b, c> 0$ thỏa $abc\leq 1$

cmr: $\sum \frac{a^{5}-a^{2}}{a^{5}+b^{2}+c^{2}}\geq 0$

 

Ta có $abc\geqslant 1$ nên $\frac{a^5-a^2}{a^5+b^2+c^2}\geqslant \frac{a^5-a^2.abc}{a^5+(b^2+c^2)abc} =\frac{a^4-a^2bc}{a^4+(b^2+c^2)bc}$

Xét BĐT phụ: $\frac{x-yz}{x+zt}\geqslant \frac{2x-yt}{2x+t^2} $ với $t\geqslant 2z$ (Luôn đúng do: $\frac{x-yz}{x+zt}- \frac{2x-yt}{2x+t^2}=\frac{x(t-2z)(y+t)}{(x+zt)(2x+t^2)}\geqslant 0$ )

Áp dụng với $x=a^4; y = a^2; z = bc; t = b^2+c^2$, ta được: $\frac{a^4-a^2bc}{a^4+(b^2+c^2)bc}\geqslant \frac{2a^4-a^2(b^2+c^2)}{2a^4+(b^2+c^2)^2}$ 

Đặt $(a^2,b^2,c^2)\rightarrow (x,y,z)$ thì ta cần chứng minh: $\sum_{cyc}\frac{2x^2-x(y+z)}{2x^2+(y+z)^2}\geqslant 0 $

Đây là điều hiển nhiên do: $\Leftrightarrow \sum_{cyc}(x-y)^2\frac{z^2+z(x+y)+x^2-xy+y^2}{(2x^2+(y+z)^2)(2y^2+(z+x)^2)}\geqslant 0$ 

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z hay a = b = c = 1


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh