Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Nguyễn Trãi năm học 2018-2019
#1
Đã gửi 05-06-2018 - 20:54
#2
Đã gửi 05-06-2018 - 21:01
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN NGUYỄN TRÃI
HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2018-2019
---------------------------- MÔN THI: TOÁN CHUYÊN
$\boxed{\text{ĐỀ CHÍNH THỨC}}$ Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
(Đề thi gồm 1 trang)
----------------------------------------------------------------------------------
Câu 1: (2,0 điểm)
1) Cho $x=a+1-\sqrt{1+a^2+\frac{a^2}{(a+1)^2}}$ ($a>0$) và $P=\frac{\sqrt{x}+\sqrt{x-2\sqrt{x}+1}+1}{\sqrt{x^2-2x+1}}$.
Rút gọn $P$ theo $a$
2) Cho các số dương $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z+\sqrt{xyz}=4$
Chứng minh $\sqrt{x(4-y)(4-z)}+\sqrt{y(4-z)(4-x)}+\sqrt{z(4-x)(4-y)}-\sqrt{xyz}=8$
Câu 2: (2,0 điểm)
1) Giải phương trình $2(x+1)\sqrt{x+\frac{3}{x}}=x^2+7$
2) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} 3x^2+xy-4x+2y=2 & & \\ x(x+1)+y(y+1)=4 & & \end{matrix}\right.$
Câu 3: (2,0 điểm)
1) Đặt $N=a_1 +a_2 +a_3 +...+a_{2017}+a_{2018}$,$M=a_1^5+a_2^5 +a_3^5 +...+a_{2017}^5+a_{2018}^5$. với $a_1,a_2,a_3,...,a_{2017},a_{2018}$ là những số nguyên dương. Chứng minh rằng nếu $N$ chia hết cho $30$ thì $M$ chia hết cho $30$.
2) Tìm tất cả số tự nhiên $n$ và $k$ để $(n^8+4^{2k+1})$ là số nguyên tố.
Câu 4: (3,0 điểm)
Cho nửa đường tròn $(O;R)$ đường kính $BC$. Gọi $A$ là điểm di động trên nửa đường tròn ($A$ khác $B,C$). Kẻ $AD \perp VC$ ($D$ thuộc $BC$) sao cho đường tròn đường kính $AD$ cắt $AB,AC$ và nửa đường tròn $(O)$ lần lượt tại $E,F,G$ ($G$ khác $A$). Đường thẳng $AG$ cắt $BC$ tại $H$.
1)Tính $\frac{AD^3}{BE.CF}$ theo $R$ và chứng minh $H, E, F$ thẳng hàng
2) Chứng minh rằng $FG.FH+GH.CF=CG.HF$
3) Trên $BC$ lấy $M$ cố định ($M$ khác $B,C$). Gọi $N,P$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $MAB$ và $MAC$. Xác định vị trí của $A$ để diện tích tam giác $MNP$ nhỏ nhất.
Câu 5: (1,0 điểm)
Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=1$.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\frac{2a}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{1+c^2}}-a^2-28b^2-28c^2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NguyenHoaiTrung: 06-06-2018 - 07:59
- PhamDam, Tea Coffee, MoMo123 và 5 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 05-06-2018 - 21:50
2.1) $x>0$
GT tương đương với:
$2(1+\frac{1}{x})\sqrt{x+\frac{3}{x}}=x+\frac{7}{x}$
Đặt $t=\sqrt{x+\frac{3}{x}}$, ta có:
$2(1+\frac{1}{x})t=t^2+\frac{4}{x}$
$(t-2)(t-\frac{2}{x})=0$
Đến đây tự làm tiếp được rồi.
Ps: Hình như câu này trong đề KHTN năm nào đó.
Đề chuyên Hải Dương khó thật
- Tea Coffee, MoMo123, honglien và 4 người khác yêu thích
$\sqrt{MF}$
#4
Đã gửi 05-06-2018 - 23:01
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN QUỐC HỌC
HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2018-2019
---------------------------- MÔN THI: TOÁN CHUYÊN
$\boxed{\text{ĐỀ CHÍNH THỨC}}$ Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
(Đề thi gồm 1 trang)
----------------------------------------------------------------------------------
Câu 3: (2,0 điểm)
1) Đặt $N=a_1 +a_2 +a_3 +...+a_{2017}+a_{2018}$,$M=a_1^5+a_2^5 +a_3^5 +...+a_{2017}^5+a_{2018}^5$. với $a_1,a_2,a_3,...,a_{2017},a_{2018}$ là những số nguyên dương. Chứng minh rằng nếu $N$ chia hết cho $30$ thì $M$ chia hết cho $30$.
Câu 3:
Ta có $a^5_{1}-a_{1}=a_{1}(a_{1}-1)(a_{1}+1)(a_{1}^{2}+1)$
Lại có $a_1(a_1-1)(a_1+1)\vdots 6$ (tích của 3 số TN liên tiếp ) hay $a_1^5-a_1\vdots 6$ (1)
Khi $a_1$ chia cho 5 có thể có các dạng 5k;5k+1:5k+2; 5k+3
Với $a_1=5k$ thì $a_1^5-a_1\vdots 5$
Với $a_1=5k+1 \Rightarrow a_1-1\vdots 5\Rightarrow a_1^5-a_1\vdots 5$
Tt với các dạng còn lại của $a_1\Rightarrow a_1^5-a_1\vdots 5$ (2)
Mà (5,6)=1
Từ (1) và (2) suy ra : $a_1^5-a_1\vdots 30$ . tt với các cái còn lại
$\Rightarrow M-N\vdots 30$
Vậy nếu $N$ chia hết cho $30$ thì $M$ chia hết cho $30$
- Tea Coffee, MoMo123, Khoa Linh và 1 người khác yêu thích
[Không tồn tại các nghiệm nguyên khác không x, y, và z thoả mãn xn + yn = zn trong đó n là một số nguyên lớn hơn 2.] (FERMAT)
#5
Đã gửi 08-06-2018 - 09:14
Câu 5: (1,0 điểm)
Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=1$.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\frac{2a}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{1+c^2}}-a^2-28b^2-28c^2$
Ta có
$$\frac{2a}{\sqrt{1+a^2}} =\frac{2a}{\sqrt{ab+bc+ca+a^2}}=\frac{2a}{(a+b)(a+c)}\leq \frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}$$
$$\frac{b}{\sqrt{1+b^2}}=\frac{b}{\sqrt{ab+bc+ca+b^2}}=\frac{}{(b+c)(b+a)} \leq \frac{b}{4(b+c)}+\frac{b}{a+b}$$
$$\frac{c}{\sqrt{1+c^2}} =\frac{c}{\sqrt{ab+bc+ca+c^2}}=\frac{c}{(c+a)(c+b)}\leq \frac{c}{4(b+c)}+\frac{c}{c+a}$$
Nên $$\frac{2a}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{1+c^2}} \leq \frac{9}{4}$$
Ta có $\frac{a^2}{2}+\frac{49b^2}{2} \geq 7ab$
$\frac{a^2}{2}+\frac{49c^2}{2} \geq 7bc$
$\frac{7}{2}(b^2+c^2) \geq 7ca$
Nên $a^2+28b^2+2c^2 \geq 7(ab+bc+ca)=7$
$\Rightarrow -a^2-28b^2-28c^2 \leq -7$
Vậy $P\leq \frac{9}{4}-7 =-\frac{19}{4}$
Dấu bằng xảy ra tại $a=7b=7c$
- Tea Coffee, DOTOANNANG, Diepnguyencva và 7 người khác yêu thích
#6
Đã gửi 08-06-2018 - 10:04
2) Tìm tất cả số tự nhiên $n$ và $k$ để $(n^8+4^{2k+1})$ là số nguyên tố.
Bài toán này xuất phát từ bài toán quen thuộc: Tìm $n$ tự nhiên để $n^{4}+4\epsilon \mathbb{P}$
$P=n^{8}+4^{2k+1}=(n^{2})^{4}+2.2^{2k+1}.n^{2}+(2^{2k+1})^{2}-(2^{k+1}.n)^{2}=(n^{2}+2^{2k+1})^{2}-(2^{k+1}.n)^{2} =(n^{2}+2^{2k+1}-2^{k+1}.n)(n^{2}+2^{2k+1}+2^{k+1}.n) ...$
- NGUYENNAMYENTRUNG, MoMo123, Korkot và 2 người khác yêu thích
Treasure every moment that you have!
And remember that Time waits for no one.
Yesterday is history. Tomorrow is a mystery.
Today is a gift. That’s why it’s called the present.
#7
Đã gửi 08-06-2018 - 10:23
2) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} 3x^2+xy-4x+2y=2 & & \\ x(x+1)+y(y+1)=4 & & \end{matrix}\right.$
Trừ vế theo vế hai phương trình được:$2x^{2}+x(y-5)-(y^{2}-y-2)=0$
$\Delta _{x}=(3y-3)^{2}...$
- Sin99 yêu thích
Treasure every moment that you have!
And remember that Time waits for no one.
Yesterday is history. Tomorrow is a mystery.
Today is a gift. That’s why it’s called the present.
#8
Đã gửi 17-07-2018 - 19:42
ai giups minh cau hinh voi kho qua
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh