Cho các số không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=1$.
Tìm GTLN, GTNN của biểu thức:
$P=\sqrt{\frac{a}{a+1}}+\sqrt{\frac{b}{b+1}}+\sqrt{\frac{c}{c+1}}$
(Sưu tầm)
Cho các số không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=1$.
Tìm GTLN, GTNN của biểu thức:
$P=\sqrt{\frac{a}{a+1}}+\sqrt{\frac{b}{b+1}}+\sqrt{\frac{c}{c+1}}$
(Sưu tầm)
$\sqrt[LOVE]{MATH}$
"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I
do mathematics to keep happy" - Alfréd Rényi
@@@@@@@@@@@
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi zack william: 06-06-2018 - 19:39
$4P^{2}\leq 3.(\frac{4a}{a+1}+\frac{4b}{b+1}+\frac{4c}{c+1})$
<=> $4P^{2}\leq 3.(\frac{4a}{a+b+a+c}+\frac{4b}{a+b+b+c}+\frac{4c}{a+c+b+c})$
<=> $4P^{2}\leq 3.(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}+\frac{c}{b+c})$
<=> $4P^{2}\leq 3.3$
<=> $P\leq \frac{3}{2}$
Vậy P max = $\frac{3}{2}$ <=> a=b=c=$\frac{1}{3}$
Nguyễn Thị Hồng Liên
$\Omega \Omega \Omega$
Cho các số không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=1$.
Tìm GTLN, GTNN của biểu thức:
$P=\sqrt{\frac{a}{a+1}}+\sqrt{\frac{b}{b+1}}+\sqrt{\frac{c}{c+1}}$
(Sưu tầm)
Cho chiều Max, ta có đánh giá:
$$\sqrt{\dfrac{a}{a+1}} \leq \dfrac{9}{16}(a-\dfrac{1}{3})+\dfrac{1}{2}$$
Dễ dàng chứng minh bất đẳng thức này luôn đúng với mọi số $a \geq 0$.
Lập 2 bất đẳng thức tương tự thu được điều phải chứng minh.
Cho chiều Min, ta thiết lập được:
$$\sqrt{\dfrac{a}{a+1}} \geq \dfrac{a}{\sqrt{2}}$$
Dễ dàng chứng minh bất đẳng thức này luôn đúng với mọi số $a$ thỏa mãn $0 \leq a \leq 1$
Lập 2 bất đẳng thức tương tự thu được điều phải chứng minh.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tr2512: 06-06-2018 - 21:20
Chiều min có thể giải bằng cách khác ngoài đánh giá
Có bất đẳng thức $\frac{x}{y}+\frac{z}{t} \geq \frac{x+z}{y+t}$ với $x,z \geq 0$ ,$y,t>0$
Giả sử $c$ lớn nhất trong các số $a,b,c$ thì $c \geq \frac{1}{3}$
Do $a,b,c \geq 0$ nên
Ta có $P^2 \geq \frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1} \geq \frac{a+b}{a+b+2}+\frac{c}{c+1}$
Mà $\frac{a+b}{a+b+2}+\frac{c}{c+1} -\frac{1}{2}=\frac{1-c}{3-c} +\frac{c-1}{2(c+1)}=\frac{(1-c)(3c-1)}{(3-c)(2c+2)} \geq 0$
Chỉ có hai điều là vô hạn: vũ trụ và sự ngu xuẩn của con người, và tôi không chắc lắm về điều đầu tiên.
Only two things are infinite, the universe and human stupidity, and I'm not sure about the former.
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$P= 2(b+c-a) + 9abc$ biết $a^2+b^2+c^2=1$Bắt đầu bởi Pray for The First, 25-08-2022 max |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
Tìm max $x^2+y^2$Bắt đầu bởi tinhyeutoanhoc2k7, 09-04-2021 max |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$$4(x+y+z+t)^3-27(x^2y+y^2z+z^2t+t^2x)-37(xyz+yzt+ztx+txy)\geqq0$$Bắt đầu bởi DOTOANNANG, 13-04-2019 bất đẳng thức dao lam, min |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Giải tích →
Hàm số - Đạo hàm →
Viết phương trình đường tròn đi qua A(2;-1) và tiếp xúc với trục Ox, OyBắt đầu bởi Rhythme, 05-01-2019 hàm số, sự tương giao, lớp10 và . |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức bằng bất đẳng thức CauchyBắt đầu bởi Tantran2510, 05-11-2018 gtln, max |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh