3. Cho $m,n \in \mathbb{Z}$ và $m,n \ge 2$. CMR các đa thức:
$$ f(x)=1+x+x^2+...+x^{m-1}$$
$$ g(x)=1+x+x^2+...+x^{n-1}$$
là nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi $m,n$ là hai số nguyên tố cùng nhau.
Ta viết lại $f(x)=\frac{x^{m}-1}{x-1};g(x)=\frac{x^{n}-1}{x-1}$
Vậy ta chứng minh $(m,n)=1\Leftrightarrow (x^{m}-1,x^{n}-1)=x-1$
Gọi $D(x)$ là ước chung lớn nhất của $x^{m}-1$ và $x^{n}-1$
Có $(m,n)=1$ khi đó $\exists u,v$ là các số nguyên dương sao cho $mu-nv=1$ hay $mv-nu=1$
Xét 1 TH : TH kia hoàn toàn tương tự
có $x^{m}-1\vdots D(x)\Rightarrow x^{mu}-1\vdots D(x)\Rightarrow x^{nv+1}-1\vdots D(x)\Rightarrow x(x^{nv}-1)+x-1\vdots D(x)$ (vì $mu=nv+1$)
mà $x^{n}-1\vdots D(x)\Rightarrow x^{nv}-1\vdots D(x)\Rightarrow x-1\vdots D(x)\Rightarrow D(x)=x-1$
=> đpcm
Chiều ngược lại đơn giản rồi $(m,n)=d\Rightarrow (x^{m}-1;x^{n}-1)=x^{d}-1\Rightarrow d=1$
P/s: Dấu $\vdots$ ở đây mk dùng hơi bừa bãi chỉ là cho nhanh thôi chứ đánh ra "chia hết cho" lâu lắm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi YoLo: 09-06-2018 - 22:27