Chủ đề này có 9 trả lời

[use your brains]

Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh: $\sum \frac{a^2+b^2}{a+b}\leq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}$

[tr2512]

Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh: $\sum \frac{a^2+b^2}{a+b}\leq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}$

Nhân cả 2 vế bất đẳng thức cho $a+b+c$ thì bất đẳng thức trở thành:

$$\dfrac{c(a^2+b^2)}{a+b}+\dfrac{b(a^2+c^2)}{a+c}+\dfrac{a(b^2+c^2)}{b+c} \leq a^2+b^2+c^2$$

Chú ý ta có đẳng thức: $\dfrac{c(a^2+b^2)}{a+b}=ca+cb-\dfrac{2abc}{a+b}$

Từ đây viết bất đẳng thức lại thành:

$$a^2+b^2+c^2+2abc(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}) \geq 2(ab+bc+ca) $$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

$$2(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}) \geq \dfrac{9}{a+b+c}$$

Như vậy ta chỉ cần chứng minh:

$$a^2+b^2+c^2+\dfrac{9abc}{a+b+c} \geq 2(ab+bc+ca)$$

Mà đây chính là bất đẳng thức Schur bậc 3.

Hoàn tất chứng minh.

Bất đẳng thức xảy ra tại $a=b=c$ hoặc tại $a=b, c=0$ và các hoán vị.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tr2512: 14-06-2018 - 11:46

[Khoa Linh]

[DOTOANNANG]

Đặt $x+ y- z,\,y+ z- x,\,z+ x- y= ab\left ( a+ b \right ),\,bc\left ( b+ c \right ),\,ca\left ( c+ a \right )$

 

Giả sử $a\geqq b\geqq c$. Ta có bất đẳng thức trên dưới dạng Vornicu-Schur:

 

$$x\left ( a- b \right )\left ( a- c \right )+ y\left ( b- c \right )\left ( b- a \right )+ z\left ( c- a \right )\left ( c- b \right )\geqq 0$$

 

Hiển nhiên đúng với $x- y= \frac{\left ( z+ x- y \right )- \left ( y+ z- x \right )}{2}= \frac{c\left ( a+ b+ c \right )\left ( a- b \right )}{2}\geqq 0$ .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 11-06-2018 - 18:00

[use your brains]

2 dòng biến đổi cuối tui không hiểu

[VuQuyDat]

2 dòng biến đổi cuối tui không hiểu

chịu khó viết tất cả các biểu thức  của tong rả vở rồi sẽ hiểu

[DOTOANNANG]

$$\frac{3\left ( \sum\limits_{cyc}a^{2}  \right )}{\sum\limits_{cyc}a}- \sum\limits_{cyc}\frac{a^{2}+ b^{2}}{a+ b}= \left [ \underbrace{\frac{2\,ab\left ( a- b \right )^{2}}{\left ( a+ b+ c \right )\left ( b+ c \right )\left ( c+ a \right )}+ \frac{\left \{ ab\left ( a+ b+ 2\,c \right )+ a\left ( c^{2}- a^{2} \right )+ b\left ( c^{2}- b^{2} \right ) \right \}\left ( a- c \right )\left ( b- c \right )}{\left ( a+ b+ c \right )\prod\limits_{cyc}\left ( a+ b \right )}}_{c= \max\left \{ a,\,b,\,c \right \}} \right ]\geqq 0$$

[use your brains]

chịu khó viết tất cả các biểu thức  của tong rả vở rồi sẽ hiểu

tks bạn do mình suy nghĩ chậm

[DOTOANNANG]

Ta có bất đẳng thức sau hiển nhiên đúng:

 

$$\sum\limits_{perms} a^{2}b\left ( a- b \right )\geqq 0$$

 

Điều này dẫn tới:

 

$$3\left ( a^{2}+ b^{2}+ c^{2} \right )\left ( a+ b \right )\left ( b+ c \right )\left ( c+ a \right )\geqq \left ( a+ b+ c \right )\left ( \sum\limits_{cyc}\left ( a^{2}+ b^{2} \right )\left ( a+ c \right )\left ( b+ c \right ) \right )$$

 

Chia $2$ vế cho $\left ( a+ b+ c \right )\left ( a+ b \right )\left ( b+ c \right )\left ( c+ a \right )$, ta được:

 

$$\frac{3\left ( \sum\limits_{cyc}a^{2} \right )}{\sum\limits_{cyc}a}\geqq \sum\limits_{cyc}\frac{a^{2}+ b^{2}}{a+ b}$$

[KietLW9]

BĐT$\Leftrightarrow \frac{c(a^2+b^2)}{a+b}+\frac{a(b^2+c^2)}{b+c}+\frac{b(c^2+a^2)}{c+a}\leqslant a^2+b^2+c^2$ 

$\Leftrightarrow \sum_{cyc}(\frac{c(a^2+b^2)}{a+b}-c^2)\leqslant 0\Leftrightarrow \sum_{cyc}\frac{ac(a-c)+bc(b-c)}{a+b}\leqslant 0\Leftrightarrow \sum_{cyc}(ab(a-b)(\frac{1}{c+a}-\frac{1}{b+c}))\leqslant 0  \Leftrightarrow \sum_{cyc}\frac{-ab(a-b)^2}{(a+c)(b+c)}\leqslant 0$ *đúng*

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 06-04-2021 - 12:07