Đến nội dung


Hình ảnh

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên toán Đại học Vinh năm học 2018-2019


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 12 trả lời

#1 NguyenHoaiTrung

NguyenHoaiTrung

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 166 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 10-06-2018 - 20:27

Nguồn: conankun

Hình gửi kèm

  • 34779998_180089316003418_8899934658431549440_n.jpg


#2 NguyenHoaiTrung

NguyenHoaiTrung

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 166 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 10-06-2018 - 20:29

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN ĐẠI HỌC VINH NĂM HỌC 2018-2019

MÔN: TOÁN

Thời gian: 150 phút

Câu 1 (1,5 điểm). Cho phương trình $x^2-(2m+3)x+3m-1=0$, $m$ là tham số.

a) Tìm tất cả các số thực $m$ để phương trình đã cho có $2$ nghiệm $x_1,x_2$ thỏa mãn điều kiện $x_1^2+x_2^2-x_1x_2=7$.

b) Tìm tất cả các số nguyên $m$ để phương trình đã cho có nghiệm nguyên.

Câu 2 (3,0 điểm).

a) Giải phương trình $\sqrt{x} +\sqrt{x+3}=\sqrt{2x^2+4x+3}$

b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x +\frac{1}{x}+y-\frac{1}{y}=3  & & \\ x^2+\frac{1}{x^2}+y^2+\frac{1}{y^2}=5 & & \end{matrix}\right.$

Câu 3 (1,0 điểm). Cho số tự nhiên $n$ ($n \geq 2$) và số nguyên tố $p$ thỏa mãn $p-1$ chia hết cho $n$ đồng thời $n^3-1$ chia hết cho $p$. Chứng minh rằng $n+p$ là só chính phương.

Câu 4 (1,0 điểm). Cho các số thực không âm $a,b$ thỏa mãn $(a-b)^2=a+b+2$. Chứng minh rằng $(1+\frac{a^3}{(b+1)^3})(1+\frac{b^3}{(a+1)^3}) \leq 9$.

Câu 5 (3,0 điểm) Cho $2$ đường tròn $(O;R)$ và $(O';r)$ cắt nhau tại 2 điểm $A$ và $B$ ($R>r$) sao cho $O$ và $O'$ ở hai phía đối với đường thẳng $AB$. Gọi $K$ là điểm sao cho $OAO'K$ là hình bình hành.

a) Chứng minh rằng tam giác $ABK$ là tam giác vuông.

b) Đường tròn tâm $K$ bán kinh $KA$ cắt đường tròn  $(O;R)$ và $(O';r)$ theo thứ tự tại $M$ và $N$ ($M,N$ khác $A$). Chứng minh rằng $\widehat{ABM}=\widehat{ABN}$.

c) Trên đường tròn $(O;R)$ lấy điểm $C$ thuộc cung $AM$ không chưa $B$ ($C$ khác $A,M$). Đường thẳng $CA$ cắt đường tròn ($O';r$) tại $D$. Chứng minh rằng $KC=KD$.

Câu 6 (0,5 điểm). Cho $17$ số tự nhiên mà các chữ số của mỗi số được lấy từ tập hợp {$1,2,3,4$}. Chứng minh rằng ta có thể chọn được $5$ ó trong $17$ số đã cho sao cho tổng của $5$ số này chia hết cho $5$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NguyenHoaiTrung: 11-06-2018 - 18:01


#3 thanhdatnguyen2003

thanhdatnguyen2003

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 68 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ
  • Sở thích:Đá bóng

Đã gửi 10-06-2018 - 20:29

Vào đay để xem các tài liệu hình hoc nha https://diendantoanh...-liệu-hình-học/



#4 Tea Coffee

Tea Coffee

    Trung úy

  • Điều hành viên THPT
  • 760 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K47 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:$\boxed{Maths}$

Đã gửi 11-06-2018 - 16:18

 

Câu 3 (1,0 điểm). Cho số tự nhiên $n$ ($n \geq 2$) và số nguyên tố $p$ thỏa mãn $p-1$ chia hết cho $n$ đồng thời $n^2-1$ chia hết cho $p$. Chứng minh rằng $n+p$ là só chính phương.

 

$n^{3}-1\vdots p$ mới đúng


Treasure every moment that you have!
And remember that Time waits for no one.
Yesterday is history. Tomorrow is a mystery.
Today is a gift. That’s why it’s called the present.


#5 NguyenHoaiTrung

NguyenHoaiTrung

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 166 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 11-06-2018 - 19:32

Câu 3 Ta có $p$ là số nguyên tố, $p-1 \vdots n=>p>n>n-1$ và $p=nk+1 (k \in \mathbb{N},k<n)$ 

Mặt khác $n^3-1=(n-1)(n^2+n+1) \vdots p$ và $p$ là số nguyên tố $=>n^2+n+1 \vdots p=>n^2+n+1 \vdots nk+1=>n^2+n-nk+nk+1 \vdots nk+1=>n^2+n-nk=n(n+1-k) \vdots nk+1$

Mà $ƯCLN(n,nk+1)=1=>n+1-k \vdots nk+1$ và $0 \leq n+1-k<nk+1$ với  $n \geq 2, k<n=>n+1-k=0<=>n=k-1=>p=(k-1)k+1=k^2-k+1$

Từ đó, ta có $n+p=k-1+k^2-k+1=k^2$ là số chính phương với $(k \in \mathbb{N})=>$ĐPCM

Nguồn: Korkot


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NguyenHoaiTrung: 11-06-2018 - 19:55


#6 PhanThai0301

PhanThai0301

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:football

Đã gửi 11-06-2018 - 19:40

$n^{3}-1\vdots p$ mới đúng

 

Câu 3 (1,0 điểm). Cho số tự nhiên $n$ ($n \geq 2$) và số nguyên tố $p$ thỏa mãn $p-1$ chia hết cho $n$ đồng thời $n^3-1$ chia hết cho $p$. Chứng minh rằng $n+p$ là só chính phương.

 Mình làm bài này theo đề chị Tea.

 Ta có: p là số nguyên tố, n là số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng 2.

+) Với p=2 thì p-1=1 mà $n\geq 2$ (loại).

+) Với p=3 thì p-1=2 => n=2 mà n=2 thì $n^{3}-1$ không chia hết cho p (loại).

+) Với p=5 thì p-1=4 => $n\epsilon {2;4}$

1. Với n=2 thì $n^3-1$ không chia hết cho p.

2. Với n=3 thì $n^3-1$ không chia hết cho p.

+) Với p=7 thì p-1=6 => $n\epsilon {2,4,6}$.

1. Với n=2 thì thỏa mãn => n+p=9 là số chính phương.

2,3 loại.

+) Với p>7 ta cm được $(n^{3}-1)$ không chia hết cho p.

Vậy n+p là số chính phương.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PhanThai0301: 11-06-2018 - 19:41

"IF YOU HAVE A DREAM TO CHASE,NOTHING NOTHING CAN STOP YOU"_M10

                                                                                                            


#7 NguyenHoaiTrung

NguyenHoaiTrung

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 166 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 11-06-2018 - 22:08

Câu 2 a)$\sqrt{x} +\sqrt{x+3}=\sqrt{2x^2+4x+3}$ ĐKXĐ $x \geq 0$

$<=> x+x+3+2\sqrt{x(x+3)}=2x^2+4x+3$

$<=>\sqrt{x(x+3)}=x^2+x$

$<=>(x^2-x)+(2x-\sqrt{x(x+3)})=0$

$<=>(x^2-x)+\frac{3(x^2-x)}{2x+\sqrt{x(x+3)}}=0$

$<=>(x^2-x)(1+\frac{1}{2x+\sqrt{x(x+3)}})=0$

Với $x \geq 0 =>1+\frac{1}{2x+\sqrt{x(x+3)}}>0=>x^2-x=0<=>x \in$ {$0;1$}


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NguyenHoaiTrung: 11-06-2018 - 22:19


#8 conankun

conankun

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 377 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 11-06-2018 - 22:22

Câu 5 (3,0 điểm) Cho $2$ đường tròn $(O;R)$ và $(O';r)$ cắt nhau tại 2 điểm $A$ và $B$ ($R>r$) sao cho $O$ và $O'$ ở hai phía đối với đường thẳng $AB$. Gọi $K$ là điểm sao cho $OAO'K$ là hình bình hành.

a) Chứng minh rằng tam giác $ABK$ là tam giác vuông.

b) Đường tròn tâm $K$ bán kinh $KA$ cắt đường tròn  $(O;R)$ và $(O';r)$ theo thứ tự tại $M$ và $N$ ($M,N$ khác $A$). Chứng minh rằng $\widehat{ABM}=\widehat{ABN}$.

c) Trên đường tròn $(O;R)$ lấy điểm $C$ thuộc cung $AM$ không chưa $B$ ($C$ khác $A,M$). Đường thẳng $CA$ cắt đường tròn ($O';r$) tại $D$. Chứng minh rằng $KC=KD$.

 

a) Gọi giao của O'O với AK, AB tại I, J. 

Ta có: AI = IK, AJ = JB nên OO' // BK. Mà OO' vuông góc với AB suy ra $\widehat{ABK}=90^0$ hay tam giác ABK vuông.

b) Dễ dàng chứng minh được: $\widehat{AOM}=2\widehat{AOK}; \widehat{AO'N}=2\widehat{AO'K}$ Mà $\widehat{AOK}=\widehat{AO'K}$ $\Rightarrow \widehat{AOM}=\widehat{AO'N}$

c) Gọi giao của AO' với (O) là P. Ta có: $OK$ vuông góc với AM $\Rightarrow OK$ vuông góc với O'P hay M,O,P thẳng hàng.

$\Rightarrow \widehat{COM}=\widehat{AO'N}$ hay $\widehat{COK}=\widehat{KO'D}$

Từ đó ta có: $\Delta COK=\Delta KO'D (c.g.c)$ hay $KC=KD$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi conankun: 11-06-2018 - 22:31

                       $\large \mathbb{Conankun}$


#9 conankun

conankun

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 377 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 11-06-2018 - 22:30

 

b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x +\frac{1}{x}+y-\frac{1}{y}=3  & & \\ x^2+\frac{1}{x^2}+y^2+\frac{1}{y^2}=5 & & \end{matrix}\right.$

 

$\left\{\begin{matrix} x+\frac{1}{x}+y-\frac{1}{y}=3\\ x^2+\frac{1}{x^2}+y^2+\frac{1}{y^2}=5 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x+\frac{1}{x}+y-\frac{1}{y}=3\\ (x+\frac{1}{x})^2+(y-\frac{1}{y})^2=5 \end{matrix}\right.$

Đặt $x+\frac{1}{x}=a; y+\frac{1}{y}=b \Rightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=3\\ a^2+b^2=5 \end{matrix}\right. \Rightarrow ......$


                       $\large \mathbb{Conankun}$


#10 hoangkimca2k2

hoangkimca2k2

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 468 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp
  • Sở thích:...

Đã gửi 11-06-2018 - 22:38

 

Câu 6 (0,5 điểm). Cho $17$ số tự nhiên mà các chữ số của mỗi số được lấy từ tập hợp {$1,2,3,4$}. Chứng minh rằng ta có thể chọn được $5$ ó trong $17$ số đã cho sao cho tổng của $5$ số này chia hết cho $5$.

 

 

$(+)$ Nếu trong $17$ số tự nhiên chứa cả $5$ số thì khỏi phải bàn

$(+)$  Nếu trong $17$ số tự nhiên chứa  $4$ số trong các số đã cho thì theo $Dirichlet...$

EZ cho trường hợp còn lại


  N.D.P 

#11 le truong son

le truong son

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 225 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Võ Nguyên Giap

Đã gửi 11-06-2018 - 23:57

 

 

Câu 4 (1,0 điểm). Cho các số thực không âm $a,b$ thỏa mãn $(a-b)^2=a+b+2$. Chứng minh rằng $(1+\frac{a^3}{(b+1)^3})(1+\frac{b^3}{(a+1)^3}) \leq 9$.

 

$(a-b)^2=a+b+2=>a^2+b^2+a+b=2(a+1)(b+1)$=>$\frac{a}{b+1}+\frac{b}{a+1}=2$

$A=\left ( 1+\frac{a^3}{(b+1)^{3}} \right )\left ( 1+\frac{b^3}{(b+1)^{3}} \right )=9+\frac{a^3b^3}{(a+1)^{3}(b+1)^{3}}-6\frac{ab}{(a+1)(b+1)}$

Đặt $t=\frac{ab}{(a+1)(b+1)}$ , dễ thấy $t^3-6t=t(t^2-6)\leq 0$ => đpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le truong son: 11-06-2018 - 23:59


#12 BurakkuYokuro11

BurakkuYokuro11

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 230 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K47 THPT Chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:$\boxed{Air Conditioner}$

Đã gửi 14-06-2018 - 20:49

Xem đáp án (Của thầy Phạm Công Thành) Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên toán Đại học Vinh năm học 2018-2019 tại : https://www.facebook...318223738711211

 

WangtaX

 


#13 buingoctu

buingoctu

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 213 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:NG town
  • Sở thích:nghe nhạc, ngắm gái

Đã gửi 18-06-2018 - 19:53

a) Gọi giao của O'O với AK, AB tại I, J. 

Ta có: AI = IK, AJ = JB nên OO' // BK. Mà OO' vuông góc với AB suy ra $\widehat{ABK}=90^0$ hay tam giác ABK vuông.

b) Dễ dàng chứng minh được: $\widehat{AOM}=2\widehat{AOK}; \widehat{AO'N}=2\widehat{AO'K}$ Mà $\widehat{AOK}=\widehat{AO'K}$ $\Rightarrow \widehat{AOM}=\widehat{AO'N}$

c) Gọi giao của AO' với (O) là P. Ta có: $OK$ vuông góc với AM $\Rightarrow OK$ vuông góc với O'P hay M,O,P thẳng hàng.

$\Rightarrow \widehat{COM}=\widehat{AO'N}$ hay $\widehat{COK}=\widehat{KO'D}$

Từ đó ta có: $\Delta COK=\Delta KO'D (c.g.c)$ hay $KC=KD$

Bạn Dũng giải rất chi là hay mn ạ. =))))))

Phần a còn cách khác 

 35482246_227396974730115_888531449956165






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh