Chủ đề này có 2 trả lời

[leanh9adst]

Cho tam giác ABC có góc A tù nội tiếp (O),ngoại tiếp (I). P,Q thuộc O sao cho BP vuông góc BI, CQ vuông góc CI. BP cắt AC tại E, CQ cắt AB tại F. Chứng minh OI vuông góc với EF

[nguyenhaan2209]

Bài toán khá hay   Nó vẫn đúng mà không cần điều kiện A tù, và điểm P,Q cũng khá thừa thãi

Trước hết ta có 3 bổ đề sau: (Chú ý kí hiệu | là vuông góc)

 

Bổ đề 1: Tiếp điểm của (I) với AC, CB, BA là X, Y, Z, H là trực tâm XYZ. CMR: O, I, H thẳng hàng

CM: Gọi I1, I2, I3 là 3 tâm bàng tiếp góc A, B, C.

Ta thấy YZ//I2I3 (cùng vuông góc AI),  cmtt -> I1I2I3 và XYZ có các cạnh đôi một song song

=> Đường thẳng Euler của ABC và I1I2I3 song song

+ XYZ: I là tâm ngoại tiếp, H’ là trực tâm -> IH’ là đường thẳng Euler

+ I1I2I3: I là tâm đường tròn Euler, O là trực tâm -> IO là đường thẳng Euler

Vì 2 đgt Euler // mà có chung gốc I -> H’,I,O thẳng hàng

 

Bổ đề 2: Cho tam giác ABC, đường cao AD, BE, CF. EF cắt BC tại X, tương tự với DE, DF là Y,Z. CMR: X,Y,Z thẳng hàng và vuông góc với OH

CM: Gọi N làm tâm đường tròn Euler của ABC

+ N là trung điểm OH (kết quả quen thuộc)

+ Đường tròn Euler đi qua 3 chân đường cao, 3 trung điểm

+ X,Y,Z thẳng hàng (Chứng minh dễ dàng bằng việc áp dụng định lí Menelaus 3 lần)

+ XF.XE=XB.XC=XD.XM (Maclaurin)

-> P(X/O)=P(X/N), cmtt thì P(Y/O)=P(Y/N), P(Z/O)=P(Z/N)

Vì vậy XY là trục đẳng phương của (O), (N) hay XY|ON=OH

 

Bổ đề 3: Gọi tiếp điểm của (I) với 3 cạnh là D,J,K. M,N,P là chân 3 đường cao từ J,D,K tương ứng. PN cắt DK tại V, MN cắt DJ tại U. Khi đó UV//EF

CM: 

+ AE/AF=AE/AB.AB/AC.AC/AF

             =AB/AC . cosB/2:cos(A+B/2) . cos(A+C/2):cosC/2

             =(sinC:cosC/2) / (sinB:cosB/2) . cos(A+C/2):cos(A+B/2)

             =sinC/2:sinB/2 . cos(A+C/2) : cos(A+B/2) (công thức sin nhân đôi)

+NU/NV=NU/NJ.NJ/NK.NK/NV=sinJ/sin(J-D).DJ/DK.cosJ/cosK.sin(K-D)/sinK

             =cosC/2:sin(C/2-A/2) . cosB/2:cosC/2 . sinC/2:sinB/2 . sin(B/2-A/2):cosB/2 

             =sinC/2:sinB/2 . cos(A+C/2):cos(A+B/2) (chuyển sin(90-x)=cos)

=> AE/AF=NU/NV.  Gọi S là tâm DJK thì NX//AB (cùng | JS), NY//AC (cùng | SK) => <EAF = <UNV

Từ đó ΔAEF ~ ΔNUV (c.g.c) -> <UVN = <EFA mà VN//AF nên UV//EF

 

Trở lại bài toán:

Áp dụng bổ đề 1, ta có O,I,H thẳng hàng 

Áp dụng bổ đề 2, ta có IH|UV -> OI | UV

Áp dụng bổ đề 3, ta có UV // EF -> OI | EF (ĐPCM) 

Hình gửi kèm

• 
• 
• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhaan2209: 06-08-2018 - 00:43

[nguyenhaan2209]

Cách khác: Gọi $DE, DF$ cắt $AB, AC$ tại $H,G; M,L$ là trung điểm $EG, FH$

Dễ thấy $(GEAC)=(HFAB)=-1$ và theo hệ thức $Newton$ thì $P(M/I)=P(M/O)$ và $P(L/I)=P(L/O)$

Từ đó $ML$ là trục đẳng phương của $(O)$ và $(I)$ nên $ML$ vuông góc $OI$

Mặt khác $AM.AC=AE.AG$ và $AF.AH=AL.AB$ theo  hệ thức Maclaurin

Vì vậy: $AM/AL=AE/AC.AG/AH.AB/AF=AH/AK.AG/AH.AJ/AG=AJ/AK$ hay $OI$ vuông góc $JK$

Hình gửi kèm

•