Đến nội dung

Hình ảnh

$f(xf(x)+f(y))=f^{2}(x)+y$

- - - - - pth

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
hoangkimca2k2

hoangkimca2k2

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 474 Bài viết

$Balkan-2000$ Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $f(xf(x)+f(y))=f^{2}(x)+y;\forall x,y\in \mathbb{R}$

 

  N.D.P 

#2
Duy Thai2002

Duy Thai2002

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 433 Bài viết

VP là hàm bậc nhất theo biến y nên có tập giá trị là $\mathbb{R}$. Do đó, VT có tập giá trị là  $\mathbb{R}$.

Suy ra $f$ toàn ánh.

$\Rightarrow$$\exists a$ sao cho:$f(a)=0$

Thay $x=a$, ta được:

$f(f(y))=y$

$=> f(f(x))=x$ $\forall x\in \mathbb{R}$

Thay $x$ bởi $f(x)$, ta được:

$f(xf(x)+f(y))=x^{2}+y$

Mà  $f(xf(x)+f(y))=f^{2}(x)+y$

Do đó:

$f^{2}(x)=x^{2}$

$<=> \begin{bmatrix} f(x)=x & \\f(x)=-x & \end{bmatrix}$

Ta sẽ chứng minh hai hàm thỏa với mọi x thuộc $ \mathbb{R}$. Giả sử tồn tại $c$ và $d$ sao cho $f(c)=c,f(d)=-d$

Thay $x$ bởi c và $y$ bởi d, ta được:

$f(c^{2}-d)=c^{2}+d$ ( vô lý vì $\begin{bmatrix}f(c^{2}-d)=c^{2}-d & \\f(c^{2}-d)=d-c^{2} & \end{bmatrix}$)

Từ đó dẫn tới hai hàm trên thỏa với mọi x thuộc $ \mathbb{R}$.

Vậy $f(x)=x,f(x)=-x$ $\forall x\in \mathbb{R}$


Sự khác biệt giữa thiên tài và kẻ ngu dốt là ở chỗ thiên tài luôn có giới hạn.






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: pth

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh