$Balkan-2000$ Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $f(xf(x)+f(y))=f^{2}(x)+y;\forall x,y\in \mathbb{R}$
#2
Đã gửi 11-06-2018 - 23:05
VP là hàm bậc nhất theo biến y nên có tập giá trị là $\mathbb{R}$. Do đó, VT có tập giá trị là $\mathbb{R}$.
Suy ra $f$ toàn ánh.
$\Rightarrow$$\exists a$ sao cho:$f(a)=0$
Thay $x=a$, ta được:
$f(f(y))=y$
$=> f(f(x))=x$ $\forall x\in \mathbb{R}$
Thay $x$ bởi $f(x)$, ta được:
$f(xf(x)+f(y))=x^{2}+y$
Mà $f(xf(x)+f(y))=f^{2}(x)+y$
Do đó:
$f^{2}(x)=x^{2}$
$<=> \begin{bmatrix} f(x)=x & \\f(x)=-x & \end{bmatrix}$
Ta sẽ chứng minh hai hàm thỏa với mọi x thuộc $ \mathbb{R}$. Giả sử tồn tại $c$ và $d$ sao cho $f(c)=c,f(d)=-d$
Thay $x$ bởi c và $y$ bởi d, ta được:
$f(c^{2}-d)=c^{2}+d$ ( vô lý vì $\begin{bmatrix}f(c^{2}-d)=c^{2}-d & \\f(c^{2}-d)=d-c^{2} & \end{bmatrix}$)
Từ đó dẫn tới hai hàm trên thỏa với mọi x thuộc $ \mathbb{R}$.
Vậy $f(x)=x,f(x)=-x$ $\forall x\in \mathbb{R}$
- Kim Vu yêu thích
Sự khác biệt giữa thiên tài và kẻ ngu dốt là ở chỗ thiên tài luôn có giới hạn.
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: pth
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(x+xy+f(y)) = (f(x)+\frac{1}{2})(f(y)+\frac{1}{2})$Bắt đầu bởi Explorer, 07-08-2022 pth, số thực, đơn ánh, toàn ánh |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(x+f(x+y))=f(x+f(y))+x$Bắt đầu bởi poset, 18-05-2021 pth |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Giải tích →
Hàm số - Đạo hàm →
$f(x^{2})+f(xy)=f(x)f(y)+...$Bắt đầu bởi hoangkimca2k2, 22-05-2018 pth |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f_{(2003)}(n)=5n\,\forall n$Bắt đầu bởi namcpnh, 12-02-2018 pth, namcpnh |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(0)=1$ và $f(f(n))=n+2$Bắt đầu bởi hungnolan, 11-02-2018 pth |
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh