Đến nội dung

Hình ảnh

$$a^{3}+ b^{3}+ c^{3}\geqq a^{2}b+ b^{2}c+ c^{2}a$$

inequality

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết

Với $a,\,b,\,c$ thỏa $b+ c\geqq 0,\,c+ a\geqq 0,\,a+ b\geqq 0$ thì:

 

$$a^{3}+ b^{3}+ c^{3}\geqq a^{2}b+ b^{2}c+ c^{2}a$$

 

Spoiler


#2
Tuanmysterious

Tuanmysterious

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 34 Bài viết
Biểu diễn cơ sở S.O.S hoặc áp dụng bđt hoán vị có ngay (Q.E.D)

#3
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết

 

 

Chào em, về việc biểu diễn cơ sở tổng các bình phương hoặc dùng BĐT hoán vị ở bài toán trên chỉ đúng với điều kiện $a,\,b,\,c$ không âm khác với giả thiết đã cho!

 

Cụ thể hơn với việc phân tích SOS, ta có $\sum\limits_{cyc}a^{3}- \sum\limits_{cyc}a^{2}b= \frac{1}{3}\left \{\left ( 2\,a+ b \right )\left ( a- b \right )^{2}+ \left ( 2\,b+ c \right )\left ( b- c \right )^{2}+ \left ( 2\,c+ a \right )\left ( c- a \right )^{2}  \right \}\geqq 0$

 

Và nếu dùng bất đẳng thức hoán vị lại càng không đúng vì mặc dù bất đẳng thức này hoán vị nhưng lại không thể giả sử $a\geqq b\geqq c$ được!

 

Nếu em quan tâm đến bài này thì có thể thấy để có thể giả sử được $a= \max\left \{ a,\,b,\,c \right \}$ thì ngoài giả thiết $a+ c\geqq 0,\,b+ c\geqq 0$ có trong lời giải thì ta cũng phải có thêm nữa $a+ b\geqq 0$ để đảm bảo tính hoán vị của bài toán! 

 

Spoiler


#4
Tuanmysterious

Tuanmysterious

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 34 Bài viết
Thật thế ! Bài này có vẻ đã được làm mạnh? Nhờ việc thay đổi giả thiết chăng?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tuanmysterious: 14-06-2018 - 11:14


#5
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết

Thật thế ! Bài này có vẻ đã được làm mạnh? Nhờ việc thay đổi giả thiết chăng?

 

Thật ra là có lần anh giải bài bất đẳng thức gốc theo phương pháp chứng minh bất đẳng thức Schur nên ra lời giải này! Việc còn lại như post anh đã nói ở trên! Vậy, từ đầu anh đã không có ý thay giả thiết!



#6
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết

Với $a,\,b,\,c$ thỏa $b+ c\geqq 0,\,c+ a\geqq 0,\,a+ b\geqq 0$ thì:

 

$$a^{3}+ b^{3}+ c^{3}\geqq a^{2}b+ b^{2}c+ c^{2}a$$

 

Spoiler

T h a y  g i ả  t h i ế t  s a n g

$$\begin{equation}\begin{split} b> -\,a \\ c> -\,\frac{ab}{a+ b} \end{split}\end{equation}$$







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: inequality

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh