Chủ đề này có 5 trả lời

[rosetta]

Cho hàm số $f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x$. Đặt $f^{k}(x)=f(f^{k-1}(x))$ với $k$ là số nguyên dương lớn hơn 1. Tìm số nghiệm của phương trình $f^{6}(x)=0$ ?

[tritanngo99]

Cho hàm số $f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x$. Đặt $f^{k}(x)=f(f^{k-1}(x))$ với $k$ là số nguyên dương lớn hơn 1. Tìm số nghiệm của phương trình $f^{6}(x)=0$ ?

Xét $f(x)=x^3-6x^2+9x$. Ta có: $f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$.

Ta có: $f'(x)=0\iff x=1\text{ hoặc }x=3$.

Lập bảng biến thiên, từ đó ta có nhận xét rằng:

Phương trình: $f(x)=c$ với $c\in (0;4)$ luôn có 3 nghiệm phân biệt.

Không mất tính tổng quát giả sử ba nghiệm đó là: $u,v,w$.

Và ta chứng minh được rằng: $u,v,w$ cũng thuộc khoảng $(0;4)$.

Thật vậy ta chứng minh bằng phản chứng:

Giả sử: $u$ không thuộc khoảng $(0;4)$. Khi đó $u\le 0\text{ hoặc }u\ge 4$.

Ta có: $u^3-6u^2+9=c$.

Từ bảng biến thiên của hàm số: $f(x)=x^3-6x^2+9x$, ta thấy rằng:

Hàm số: $f(x)$ đồng biến trên $[-\infty;1)$ nên với mọi $u\le 0\implies f(u)=u^3-6u^2+9\le f(0)=0\iff c\le 0\text{ mâu thuẩn }(1)$.

Và $f(x)$ đồng biến trên $[3;+\infty)$ nên với mọi $u\ge 4\implies f(u)\ge f(4)=4\iff c>4\text{ mâu thuẩn}(2)$.

Từ $(1)(2)$ ta có điều phải chứng minh. Chứng minh tương tự cho $v,w$.

Vậy tóm lại: Phương trình $f(x)=c;c\in(0;4)$ luôn có 3 nghiệm phân biệt $u,v,w\in(0;4)$.

Từ đó dùng quy nạp ta chứng minh được: Phương trình: $f^{n}(x)=c;c\in(0;4)$ có: $3^n$ nghiệm.

Chứng minh: Với $n=1\implies f(x)=c$. Rõ ràng phương trình này có $3^1=3$ nghiệm. Nên $n=1$ đúng.

Giả sử đúng với $n=k;k \in \mathbb{N^*};k\ge 2$. Tức là phương trình: $f^{k}(x)=c$ có $3^k$ nghiệm.

Ta đi chứng minh: Với $n=k+1$. Phương trình: $f^{k+1}(x)=c$ có $3^{k+1}$ nghiệm.

Thật vậy: Theo đề ta có: $f^{k+1}(x)=f(f^{k}(x))$. Nên $f^{k+1}(x)=c\iff [f^{k}(x)]^3-6[f^{k}(x)]^2+9[f^{k}(x)]=c$.

Rõ ràng phương trình này có $3$ nghiệm:

$\left\{\begin{array}{I} f^{k}(x)=u\\f^{k}(x)=v\\f^{k}(x)=w \end{array}\right.$

Rõ ràng mỗi phương trình: $f^{k}(x)=u;f^{k}(x)=v;f^{k}(x)=w$ có $3^{k}$ nghiệm. Nên suy ra số nghiệm của pương trình:

$f^{k+1}(x)=c$ là: $3.3^{k}=3^{k+1}$ nghiệm.

Vậy theo giả thiết quy nạp: Ta có: phương trình: $f^{k}(x)=c;c\in (0;4)$ có: $3^{k}$ nghiệm.

Bây giờ ta đi tìm số nghiệm của phương trình: $f^{n+1}(x)=0$.

Gọi $a_n$ là số nghiệm của phương trình: $f^{n}(x)=0$.

Gọi $b_n$ là số nghiệm của phương trình: $f^{n}(x)=3$. Rõ ràng $3\in (0;4)$. Nên ta suy ra được: $b_n=3^{n}$.

Xét $f^{n+1}(x)=0\iff [f^{n}(x)]^3-6[f^{n}(x)]^2+9[f^{n}(x)]=0\iff [f^{n}(x)]([f^{n}(x)]-3)^2=0$.

$\iff \left\{\begin{array}{I} f^{n}(x)=0\\f^{n}(x)=3 \end{array}\right.$

Suy ra: $a_{n+1}=a_n+3^{n}\implies a_{n+1}-a_n=3^n$.

Tương tự ta có: $a_{n}-a_{n-1}=3^{n-1}...$.

Cộng lần lượt vế theo vế ta được: $a_{n+1}-a_1=3^{n}+3^{n-1}+...+3^{1}=\frac{3^{n+1}-1}{3-1}-1(*)$.

Dễ dàng nhận thấy rằng: $a_1=2$.

Do đó: Từ $(*)\implies a_{n+1}=\frac{3^{n+1}-1}{2}+1$.

Thay $n=5$. Ta được: $a_6=\frac{3^6-1}{2}+2=365$.

Vậy phương trình: $f^{6}(x)=0$ có $365$ nghiệm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 19-06-2018 - 15:43

[rosetta]

Xét $f^{n+1}(x)=0\iff [f^{n}(x)]^3-6[f^{n}(x)]^2+9[f^{n}(x)]=0\iff [f^{n}(x)]([f^{n}(x)]-3)^2=0$.
$\iff \left\{\begin{array}{I} f^{n}(x)=0\\f^{n}(x)=3 \end{array}\right.$
Suy ra: $a_{n+1}=a_n+3^{n}\implies a_{n+1}-a_n=3^n$.

Cảm ơn bác, nhưng em chưa hiểu chỗ suy ra $a_{n+1}=a_n+3^{n}\implies a_{n+1}-a_n=3^n$ lắm :p Tại sao suy ra thế được ạ?

[tritanngo99]

Cảm ơn bác, nhưng em chưa hiểu chỗ suy ra $a_{n+1}=a_n+3^{n}\implies a_{n+1}-a_n=3^n$ lắm Tại sao suy ra thế được ạ?

Do $a_{n+1}$ là số nghiệm của phương trình của phương trình $f^{n+1}(x)=0$ bằng tổng số nghiệm của phương trình $f^{n}(x)=0$ và $f^{n}(x)=3$.

[rosetta]

Cho phép em bắt lỗi tí.

Ở trên bác có viết:

Gọi $a_n$ là số nghiệm của phương trình: $f^{n}(x)=0$.

Cộng lần lượt vế theo vế ta được: $a_{n+1}-a_1=3^{n}+3^{n-1}+...+3^{1}=\frac{3^{n+1}-1}{3-1}-1(*)$.
Dễ dàng nhận thấy rằng: $a_1=3$.
Do đó: Từ $(*)\implies a_{n+1}=\frac{3^{n+1}-1}{2}+2$.
Thay $n=5$. Ta được: $a_6=\frac{3^6-1}{2}+2=366$.
Vậy phương trình: $f^{6}(x)=0$ có $366$ nghiệm.

Nếu $a_n$ là số nghiệm của phương trình $f^{n}(x)=0$ thì ta dễ dàng nhận thấy $a_1=2$ chứ không phải bằng 3.

Thay lại $a_1=2$ vào $a_{n+1}-a_1=3^{n}+3^{n-1}+...+3^{1}=\frac{3^{n+1}-1}{3-1}-1(*)$ ta được $(*)\implies a_{n+1}=\frac{3^{n+1}-1}{2}+1$. Đến đây làm tiếp như bình thường ta được số nghiệm của phương trình $f^{6}(x)=0$ có $365$ nghiệm mới đúng lệch mất 1 số.

[tritanngo99]

Cho phép em bắt lỗi tí.

Ở trên bác có viết:


Nếu $a_n$ là số nghiệm của phương trình $f^{n}(x)=0$ thì ta dễ dàng nhận thấy $a_1=2$ chứ không phải bằng 3.

Thay lại $a_1=2$ vào $a_{n+1}-a_1=3^{n}+3^{n-1}+...+3^{1}=\frac{3^{n+1}-1}{3-1}-1(*)$ ta được $(*)\implies a_{n+1}=\frac{3^{n+1}-1}{2}+1$. Đến đây làm tiếp như bình thường ta được số nghiệm của phương trình $f^{6}(x)=0$ có $365$ nghiệm mới đúng lệch mất 1 số.

Uhm bạn. Mình nhầm!!!