Chủ đề này có 1 trả lời

[Ngoc Hung]

Cho x, y, z không âm thỏ mãn x + y + z = 4

Tìm GTNN và GTLN của $P=\sqrt{2x+1}+\sqrt{3y+1}+\sqrt{4z+1}$

[mrdoctorlee]

đặt $\sqrt{2x+1}=a\Rightarrow a^{2}=2x+1\Rightarrow x=\frac{a^{2}-1}{2}$

ttự $b=\sqrt{3y+1}\Rightarrow y=\frac{b^{2}-1}{3}$

$\sqrt{4z+1}=c\Rightarrow z=\frac{c^{2}-1}{4}$

nên x+y+z=$\frac{a^{2}-1}{2}+\frac{b^{2}-1}{3}+\frac{c^{2}-1}{4}=4$

$\Leftrightarrow \frac{a^{2}}{2}+\frac{b^{2}}{3}+\frac{c^{2}}{4}=\frac{61}{12}\Rightarrow a^{2}+\frac{2}{3}b^{2}+\frac{1}{2}c^{2}=\frac{61}{6}$

* tìm max p =a+b+c

 ta có $a^{2}+\frac{61}{27}\geq 2\sqrt{\frac{61}{27}}a$

   $\frac{2}{3}(b^{2}+\frac{61}{12})\geq \frac{4}{3}\sqrt{\frac{61}{12}}b$

$\frac{1}{2}(c^{2}+\frac{244}{27})\geq \sqrt{\frac{244}{27}}c$

cộng vế vs vế các bdt cùng chiều

$a^{2}+\frac{2}{3}b^{2}+\frac{1}{2}c^{2}+\frac{61}{6}\geq \frac{2\sqrt{183}}{9}(a+b+c)$

hay P<= $\frac{\sqrt{183}}{2}$

đấu = xảy ra khi a=$\sqrt{\frac{61}{27}}\Rightarrow x=\frac{17}{27}$

ttụ y= $\frac{49}{36};z=\frac{217}{108}$

* tìm min P =a+b+c

P^2 =(a+b+c)^2 =$a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ac)=(a^{2}+\frac{2}{3}b^{2}+\frac{1}{2}c^{2})+\frac{1}{3}b^{2}+\frac{1}{2}c^{2}+2(ab+bc+ac)=\frac{61}{6}+\frac{1}{3}b^{2}+\frac{1}{2}c^{2}+2(ab+bc+ac)$

mà $a=\sqrt{2x+1}\geq 1$ ttự b>=1 , c>=1

nên P^2 >= $\frac{61}{6}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+2(ab+bc+ac)=11+2(ab+bc+ac)$

vì a,b,c>=1

nên ta có (a-1)(b-1)+(b-1)(c-1)+(c-1)(a-1)>=0 hay

ab+bc+ac>=2(a+b+c)-3

suy ra 2(ab+bc+ac)>=4(a+b+c)-6 =4P-6

neen P^2>=11+4P-6

$P^{2}-4P-5\geq 0$ nên hoặc P<=-1 hoặc P>=5 (1)

mà P=a+b+c>=3 (2)

từ (1)(2) ta suy ra P>=5

dau = say ra khi a=3, b=c=1 suy ra x=4 y=z=0