Chứng minh rằng nếu $x^{\frac{p-1}{2}} \equiv 1 \mathbb{mod p}$ từ một lúc nào đó với các số nguyên tố $p$ ( hay nói cách khác là số chính phương $\mathbb{mod p}$ ) thì $x$ là số chính phương
Đây là lời giải của em: Ta có :$ (x,p)=1$
Xét 2 trường hợp sau:
TH1: $p=2$ , thì x lẻ, Xét số $x=2t+1$ và số $s=2q+1$
Ta có: $s^2-x= (2q+1)^2-(2t+1) =2(2q^2+2q-t) \vdots 2$
Nên $s^2 \equiv x (mod p)$( đpcm)
TH2: $p$ lẻ Ta có:
Với mỗi số $k \in \left \{ 1,2,3,...,p-1 \right \}$ tồn tại duy nhất một số $k' \in \left\{1,2,3,...,p-1 \right \}$ sao cho $kk' \equiv x(mod p)$
Xét 2 trường hợp sau:
$+_{1})$ Nếu $k=k'$ thì $x \equiv k^2$ từ đây suy ra x là số chính phương mod p
$+_{2})$ Nếu với mọi k ta luôn có $ k\neq k'$ , Khi đó tập $\left\{1,2,3,...,p-1 \right \}$ sẽ được chia thành $\frac{p-1}{2}$ tập con $\left \{k;k' \right \}$ sao cho $ kk' \equiv a$
Nên $a^{\frac{p-1}{2}} \equiv (p-1)!$
Theo định lí Wilson , $(p-1)! \equiv -1$
Nên ta có $1 \equiv -1 (mod p)$
Vì p lẻ nên điều này là không thể. Vậy chỉ có $+_{1}$ xảy ra (đpcm)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 18-06-2018 - 23:12