Đến nội dung

Hình ảnh

Vieta Jumping

* * * * * 2 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Tuanmysterious

Tuanmysterious

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 34 Bài viết
Một bài toán hay và cơ bản về bước nhảy viet:
Tìm n nguyên sao cho phương trình sau có nghiệm nguyên
x^2+y^2+1=nxy
P/S: Yêu cầu anh chị lớp trên không giải bài này.Các anh chị có thể đưa ra một vài kinh nghiệm hoặc bài toán mới

#2
thanhan2003

thanhan2003

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 127 Bài viết

Giả sử $x^{2}+y^{2}+1\vdots xy$, thì ta có $x^{2}+y^{2}+1=nxy$, hay được viết lại là

  $x^{2}+x(-ny)+(y^{2}+1)=0$ hoặc $y^{2}+y(-nx)+(x^{2}+1)=0$

Bây giờ nếu x=y, ta có $(n-2)x^{2}=1=> n-2=1, x^{2}=1=> n=3; x=y=1$.

Giả sử có một nghiệm của phương trình thỏa mãn $x\neq y$, không mất tổng quát ta cho $x>y$. 

Ta có tích của hai nghiệm của phương trình bậc 2 ẩn x là $y^{2}+1$ (theo Viet), do đó  $xx_{2}=y^{2}+1$. 

Vì x, y, x2 là các số nguyên dương.

Vì x2>y, bởi x>y ta có $xx_{2}\geq (y+1)^{2}>y^{2}+1$  với y nguyên dương, mâu thuẫn. Nên $x_{2}< y< x$. 

Vậy ta nhận giá trị $(x_{2},y)$ thỏa mãn $x_{2}+y<x+y$. 

Tiếp theo ta có thể lấy một giá trị lớn hơn trong x và y và lặp lại quá trình lí luận.

Nếu tất cả giá trị thu được với  $x\neq y$ ta sẽ có $x>y>x_{2}>y_{2}>x_{3}>...$.  Mâu thuẫn, bởi vì tất cả $x_{i},y_{i}$ phải dương. 

Vì vậy, tại một số giá trị của n chúng ta sẽ nhận được một giá trị với x=y. Tuy nhiên, điều này cũng xảy ra <=> n=3, như chúng ta đã chỉ ra ở trên.



#3
duchost121

duchost121

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 10 Bài viết

mọi người còn bài nào ko hay có tài liệu nào về chuyên đề này mà dễ hiểu share mình với






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh