Vieta Jumping
#1
Đã gửi 19-06-2018 - 18:59
Tìm n nguyên sao cho phương trình sau có nghiệm nguyên
x^2+y^2+1=nxy
P/S: Yêu cầu anh chị lớp trên không giải bài này.Các anh chị có thể đưa ra một vài kinh nghiệm hoặc bài toán mới
- Tea Coffee và thanhan2003 thích
#2
Đã gửi 26-06-2018 - 09:58
Giả sử $x^{2}+y^{2}+1\vdots xy$, thì ta có $x^{2}+y^{2}+1=nxy$, hay được viết lại là
$x^{2}+x(-ny)+(y^{2}+1)=0$ hoặc $y^{2}+y(-nx)+(x^{2}+1)=0$
Bây giờ nếu x=y, ta có $(n-2)x^{2}=1=> n-2=1, x^{2}=1=> n=3; x=y=1$.
Giả sử có một nghiệm của phương trình thỏa mãn $x\neq y$, không mất tổng quát ta cho $x>y$.
Ta có tích của hai nghiệm của phương trình bậc 2 ẩn x là $y^{2}+1$ (theo Viet), do đó $xx_{2}=y^{2}+1$.
Vì x, y, x2 là các số nguyên dương.
Vì x2>y, bởi x>y ta có $xx_{2}\geq (y+1)^{2}>y^{2}+1$ với y nguyên dương, mâu thuẫn. Nên $x_{2}< y< x$.
Vậy ta nhận giá trị $(x_{2},y)$ thỏa mãn $x_{2}+y<x+y$.
Tiếp theo ta có thể lấy một giá trị lớn hơn trong x và y và lặp lại quá trình lí luận.
Nếu tất cả giá trị thu được với $x\neq y$ ta sẽ có $x>y>x_{2}>y_{2}>x_{3}>...$. Mâu thuẫn, bởi vì tất cả $x_{i},y_{i}$ phải dương.
Vì vậy, tại một số giá trị của n chúng ta sẽ nhận được một giá trị với x=y. Tuy nhiên, điều này cũng xảy ra <=> n=3, như chúng ta đã chỉ ra ở trên.
#3
Đã gửi 08-02-2019 - 16:07
mọi người còn bài nào ko hay có tài liệu nào về chuyên đề này mà dễ hiểu share mình với
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh