Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng số $A=\sum_{k=1}^{\frac{p-1}{2}}k.\binom{p}{k}$ là bội của $p^{2}.$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Zz Isaac Newton Zz

Zz Isaac Newton Zz

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 392 Bài viết

Cho số nguyên tố $p$ lẻ và $p\equiv 1\left ( mod 4 \right ).$ Chứng minh rằng số $A=\sum_{k=1}^{\frac{p-1}{2}}k.\binom{p}{k}$ là bội của $p^{2}.$



#2
duylax2412

duylax2412

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 191 Bài viết

Cho số nguyên tố $p$ lẻ và $p\equiv 1\left ( mod 4 \right ).$ Chứng minh rằng số $A=\sum_{k=1}^{\frac{p-1}{2}}k.\binom{p}{k}$ là bội của $p^{2}.$

Xét $k. \binom{p}{k}=p.\frac{(p-k+1)(p-k+2)...(p-1)}{(k-1)!} $

Chú ý $(p-k+1)(p-k+2)...(p-1) \equiv (-1)(-2)...(-k+1) \equiv (-1)^{k-1}.(k-1)! (mod p)$

Và $((k-1)!,p)=1 $ (với $k<p$)

Từ đó $k. \binom{p}{k}=p.\frac{(p-k+1)(p-k+2)...(p-1)}{(k-1)!} \equiv p.(-1)^{k-1} (mod p^2) $

Suy ra $A \equiv p.[ (-1)^0+(-1)^1+...(-1)^{\frac{p-3}{2}} ]\equiv 0 (mod p^2)$ (với $p$ chia 4 dư 1)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duylax2412: 25-06-2018 - 09:56

Chỉ có hai điều là vô hạn: vũ trụ và sự ngu xuẩn của con người, và tôi không chắc lắm về điều đầu tiên.

Only two things are infinite, the universe and human stupidity, and I'm not sure about the former.

ALBERT EINSTEIN

 

 


#3
NHoang1608

NHoang1608

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 375 Bài viết

Sử dụng kết quả $\binom{p-1}{k}\equiv (-1)^{k} (mod p)$ với $p$ nguyên tố và $0\leq k \leq p-1$

Với đẳng thức $k.\binom{p}{k}=p\binom{p-1}{k-1}$ thì ta có điều phải chứng minh.

Mở rộng là: $B=\sum_{k=1}^{\frac{p-1}{4}}.(-1)^{k-1}.\binom{p}{k} \equiv 3(2^{p-1}-1) (mod p^{2})$ (VMO 2017)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 26-06-2018 - 00:14

The greatest danger for most of us is not that our aim is too high and we miss it, but that it is too low and we reach it.

----- Michelangelo----





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh