Cho hàm số $f:\mathbb{N}^{*}\rightarrow \mathbb{N}^{*}$ thỏa mãn điều kiện:
i. Với mọi $m,n\in \mathbb{N}^{*}$ ta có $f(m)+f(n)>mn.$
ii. Với mọi $m,n\in \mathbb{N}^{*}$ thì $f(m)+f(n)-mn$ là một ước của $mf(m)+nf(n).$
Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên dương $N$ sao cho với mọi số nguyên tố $p>N$ thì $f(p)=p^{2}.$