Chủ đề này có 50 trả lời

[HoangPhuongAnh]

 Bài 18: Chứng minh tam giác có hai đường phân giác bằng nhau thì tam giác đó cân( sưu tầm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangPhuongAnh: 14-07-2018 - 23:25

[gosh]

Bài 17(aops): Tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$. Gọi $d$ là đường thẳng Euler.$ M,N$ là ảnh đối xứng của $B,C$ qua $d$. $P$ bất kì thuộc $d$.

a) $PM$ giao $AC$ tại $E$, $PN$ giao $AB$ tại $F$ .$S$ đối xứng $H$ qua $EF$. Chứng minh $S$ thuộc $(O)$

b)Chứng minh $PS$ đi qua điểm cố định

[AnhTran2911]

BÁC UCHIHA KHỞI ĐỘNG LẠI CÁI TOPIC NÀY CÁI, SAO CÁC MEM VẮNG BÓNG THẾ NHỈ

[Uchiha sisui]

  Có lẽ phải đưa cái topic này về đúng với quỹ đạo của nó rồi! Nhiệt lên nào members! Bài mới đây!

 

Bài 18. Cho đường tròn $(O)$ cố định và hai điểm $B, C$ cố định thuộc đường tròn $(O)$, điểm $A$ di động trên đường tròn $O$ . Đường tròn $(I)$ nội tiếp tam giác $ABC$, tiếp xúc với $BC, CA, AB$ lần lượt tại $D, E, F$. Gọi $L$ là điểm Lemoine  của tam giác $DEF$ . $X$ là điểm đối xứng của $L$ qua $EF$. $AX$ cắt $(O)$ tại $Y$. Chứng minh rằng $YD$ luôn đi qua một điểm cố định.

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Uchiha sisui: 06-08-2018 - 13:28

[AnhTran2911]

Bổ đề 1: Điểm $Lemoine$ của một tam giác nằm trên đường nối trung điểm một cạnh với trung điểm đường cao tương ứng của nó ( quen thuộc )

Bổ đề 2: Cho $\triangle{ABC}$. $\triangle{DEF}$ là tam giác pedal của $I$ ( $I$ tâm nội). $R$ là hình chiếu của  $D$  lên cạnh $EF$ . $PD$ cắt $(O)$ tại $Y$ ( $(O)=$$(ABC)$ ). CMR : $A,R,Y$ thẳng hàng

Chứng minh bổ đề 2: Gọi $(AI)$ giao $(O)$ tại $G$. $AR$ cắt $AI$ tại $H$. Vì $\triangle{BFR}\sim{\triangle{CER}}$ suy ra $\frac{RF}{RE}=\frac{BF}{CE}=\frac{BD}{CD}$. Do đó ta có cấu hình đồng dạng

$GAEF\cup{R,H}}\sim{{GPCB\cup{D,P}}$ lúc đó $\triangle{GHY}\sim{\triangle{GEC}}$. Suy ra $\angle{GHY}+\angle{FHA}=\angle{GEC}+\angle{AEF}=180$ nên $A,H,Y$ thẳng hàng hay $AR$ đi qua $Y$

Quay trở lại bài toán: Kí hiệu điểm tương tự như trong bổ đề và lấy $K$ là hình chiếu của $L$ lên $EF$ . $AI$ cắt $EF$ tại trung điểm $M$ của $EF$ , $S$ là trung điểm $DR$. Vì $L$ là điểm $Lemoine$ của tam giác $DEF$ nên $L$ thuộc $MS$ ( Theo bổ đề $1$) Bây giờ ta chỉ cần chứng minh $A,X,Y$ thẳng hàng với $PD$ cắt $(O)$ tại $Y$ thì ta có $YD$ đi qua trung điểm cung $BAC$ cố định . Thật vậy, ta có biến đổi tỉ số $\frac{AL}{AD}=\frac{ML}{MS}=\frac{KL}{RS}=\frac{XL}{RD}$ , mặt khác $XL\parallel{RD}$ suy ra $A,X,R$ thẳng hàng theo định lí Thales nên ta có $\blacksquare$

[AnhTran2911]

Bài 19:  Chứng minh rằng $IG$ đi qua điểm $Schiffler$ của tam giác $ABC$ với $I$ là tâm nội, $G$ là trọng tâm tam giác  $DEF$ (với $D,E,F$ là chân phân giác trong của $\triangle{ABC})$

Điểm $Schiffler$ của tam giác $\triangle{ABC}$ là điểm đồng quy của các đường $Euler$ của các tam giác $\sum{\triangle{IBC}}\cup{\triangle{ABC}}$ với $I$ là tâm nội 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AnhTran2911: 07-08-2018 - 21:39

[Zeref]

Bài 19:  Chứng minh rằng $IG$ đi qua điểm $Schiffler$ của tam giác $ABC$ với $I$ là tâm nội, $G$ là trọng tâm tam giác 

Điểm $Schiffler$ của tam giác $\triangle{ABC}$ là điểm đồng quy của các đường $Euler$ của các tam giác $\sum{\triangle{IBC}}\cup{\triangle{ABC}}$ với $I$ là tâm nội 

Em không nghĩ có tỉnh nào ra thi tâm tam giác đâu bác ơi. Đổi bài đi bác.

[Uchiha sisui]

Em không nghĩ có tỉnh nào ra thi tâm tam giác đâu bác ơi. Đổi bài đi bác.

 

 

Bài 19:  Chứng minh rằng $IG$ đi qua điểm $Schiffler$ của tam giác $ABC$ với $I$ là tâm nội, $G$ là trọng tâm tam giác 

Điểm $Schiffler$ của tam giác $\triangle{ABC}$ là điểm đồng quy của các đường $Euler$ của các tam giác $\sum{\triangle{IBC}}\cup{\triangle{ABC}}$ với $I$ là tâm nội 

Cái này cao quá bác!

[Uchiha sisui]

Bài 20. Tứ giác $ABCD$ điều hòa, tiếp tuyến tại $A, C$ cắt nhau tại $P$. Điểm $T$ thuộc $AC$. Gọi $O'$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $TBD$. Tiếp tuyến với $(O')$ tại $T$ cắt $AP, CP$ tại $Q, R$. Chứng minh rằng tứ giác $BDQR$ nội tiếp.   

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Uchiha sisui: 07-08-2018 - 18:25

[AnhTran2911]

Bài 19 đã sửa, song mình thấy có vẻ khó có lời giải sơ cấp trừ khi biết được nhiều tính chất về điểm $Schiffler$

P/s : bài 20 đúng đề không nhỉ ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AnhTran2911: 07-08-2018 - 22:07

[quangduc1205]

bạn có thể giải chi tiết được không ạ

 

Không biết cách vẽ hình nên bác thông cảm

P/s: Bài 5 các bác thử áp dung phép nghịch đảo đx qua điểm $A$ sẽ thu đc bài quen thuộc

P/s: Chiều đánh không hoàng ( @Nhoang1608)