Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh $\mathbb{Q} (\sqrt{2})$ và $\mathbb{Q} (\sqrt{3})$ không đẳng cấu với nhau


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Donald Trump

Donald Trump

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 28 Bài viết

Định nghĩa : với $n$ nguyên dương, $n$ không phải số chính phương thì $\mathbb{Q} (\sqrt{n}) = \left \{ a+b \sqrt{n} | a,b \in \mathbb{Q} \right \} $.

Chứng minh rằng các trường $\mathbb{Q} (\sqrt{2})$ và $\mathbb{Q} (\sqrt{3})$ không đẳng cấu với nhau



#2
vutuanhien

vutuanhien

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 690 Bài viết

Định nghĩa : với $n$ nguyên dương, $n$ không phải số chính phương thì $\mathbb{Q} (\sqrt{n}) = \left \{ a+b \sqrt{n} | a,b \in \mathbb{Q} \right \} $.

Chứng minh rằng các trường $\mathbb{Q} (\sqrt{2})$ và $\mathbb{Q} (\sqrt{3})$ không đẳng cấu với nhau

Gợi ý: Giả sử chúng đẳng cấu với nhau, tức là tồn tại song ánh $\varphi: \mathbb{Q}(\sqrt{2})\to \mathbb{Q}(\sqrt{3})$ sao cho $\varphi(x+y)=\varphi(x)+\varphi(y)$, $\varphi(xy)=\varphi(x)\varphi(y)$. Khi đó hãy tính một vài giá trị cụ thể của $\varphi(x)$, dẫn đến $2$ là bình phương của một phần tử trong $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ và chỉ ra rằng đây là một điều vô lý. 


"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh