Đến nội dung

Hình ảnh

$f(x^2+yf(x))=xf(f(x))+f(x)f(y)$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Kamii0909

Kamii0909

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 157 Bài viết

Tìm tất cả $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn

$f(x^2+yf(x))=xf(f(x))+f(x)f(y)$ với mọi $x,y \in \mathbb{R}$



#2
pcoVietnam02

pcoVietnam02

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết
Gọi $P(x,y)$ là phép thế của phương trình hàm $f(x^2+yf(x))=xf(f(x))+f(x)f(y), \forall x,y \in \mathbb{R}$
$$P(0,0)\implies \begin{cases} f(0)=1 \\ f(0)=0\end{cases}$$
Giả sử $f(0)=1$ đặt $f(a)=1$ với vài giá trị $a\ne 0$
$P(x,0)\implies f(x^2)=f(x)+xf(f(x))\quad\forall x$
Với $x=1$ ta có $f(f(1))=0$ suy ra $c=f(1)\ne 0$ (vì $f(0)=1$) nên $f(c)=0$
$$P(c,y)\implies f(c^2)=c\implies f(f(c^2))=0$$
$$P(1,x)\implies f(1+cx)=cf(x)\quad\forall x (1)$$
$$P(c^2,x)\implies f(c^4+cx)=cf(x)\quad\forall x (2)$$
Thay $x=a$ in $(1)$ ta có $f(1+ac)=c=f(1)$ suy ra $f(f(1+ac))=0$
Do đó $$P(1+ac,y)\implies f(1+a^2c^2+2ac+cy)=cf(y)=f(1+cy)$$
Cho nên $c\ne 0$ và ta có $1+cy$ chạy trong tập $\mathbb{R}$, đặt $b=a^2c^2+2ac$ suy ra $f$ là hàm tuần hoàn chu kì $b$ .
Lấy giá trị $x$ sao cho $2x+b\in\mathbb{N}$ suy ra $f(x^2+yf(x))=f(x^2+2xb+b^2+yf(x+b))$ do đó $P(x+b,y)-P(x,y)=0$ và $$b.f(f(x))=0\quad\forall x$$
 
Nếu $b\ne 0$ thì với$x+2b\in\mathbb{N}$ ta có
$$f(x^2+yf(x))=f(x)f(y)\quad\forall y,x: x+2b\in\mathbb{N}$$
Suy ra $f(x^2+yf(x))=f(y^2+xf(y))$ với mọi $x,y$ thỏa $(x+2b;y+2b)\in\mathbb{N}^2$
Vì $f(y)=f(y+2b)=f(\mathbb{N})$ thì ta thay $y=0$ suy ra $f(x^2)=0\quad\forall x: x+2b\in\mathbb{N}$ và suy ra $f(x^2)=0\quad\forall x\in\mathbb{N}$,mâu thuẫn vì $f(1)\ne 0$
Suy ra $b=0\implies ac=-2$ vì $a,c\ne 0 (\star)$.
Từ $(1)$ và $(2)$ ta có $f(1-c^4)=cf(-c^3)=f(0)=1$ suy ra $(1-c^4)c=-2$ hoặc $1-c^4=0 (3)$
Mà $f(c^4-1)=1$ suy ra $(c^4-1)c=-2$ hoặc $c^4-1=0 (4)$
Vì $c$ phải thỏa mãn $(3),(4)$ nên $c=\pm1$
Suy ra $f(1)=0$ hoặc $f(-1)=0$, do đó $f(1)\ne 0$ $\Rightarrow$ $f(-1)=0$ 
$$P(-1,x)\implies f(1)=-1\implies c=-1$$
$$P(1,y)\implies f(1-y)=-f(y)\quad\forall y$$
Dẽ dàng tính được $f(4)=2,f(2)=0$ suy ra $f(16+2y)=2f(y)\quad\forall y$ và suy ra $f(-6)=1$
Từ $(\star)$ ta phải có $-6(-1)=-2$ or $-6=0$, mâu thuẫn.
Suy ra $f(0)=0$
$$P(x,0)\implies f(x^2)=xf(f(x))\quad\forall x\in\mathbb{R}$$
Dễ dàng thấy được $f(x)=0\quad\forall x$ là một kết quả, nên ta giả sử $f$ là hàm khác hàm hằng.
Nếu $f(1)\ne 0$, đặt $f(1)=e$ ta có $f(e)=e$ (vì $f(x^2)=xf(f(x))$)
$$P(1,x)\implies f(1+ex)=e+ef(x)\quad\forall x$$
Tương tự đặt $t=f(-1)\ne 0$ ta có $f(1+tx)=-f(t)+tf(x)=e+tf(x)$ suy ra $f(1)=e=-f(f(-1))=-f(t)$
Cho nên $tf(e)=ef(t)$,nhưng $f(e)=e$ nên $f(t)=t$ và $t=-e$.
$$P(e,x)\implies f(e^2+ex)=e^2+ef(x)\quad\forall x$$
Thay $x=-1$ ta có $f(e^2-e)=e^2+et=0$
Nếu $f$ tại $0$, ta có $e=1=f(1)$ suy ra $f(-1)=t=-1$
$$P(1,x)\implies f(x+1)=f(x)+1\quad\forall x\in\mathbb{R}$$
$$P\left(x,\frac{1}{f(x)}\right)\implies f(x^2+1)=f(x^2)+f(x)f\left(\frac{1}{f(x)}\right)\quad\forall x\ne 0(\star\star)$$
Gọi tập hợp $S=\{x\in\mathbb{R}: f(x)=x\}$
Từ $(\star\star)$ và $f(x+1)=f(x)+1\quad\forall x$ ta có $\frac{1}{f(x)}\in S\quad\forall x\ne 0$.
Chọn $a,b$ sao cho $a,b\in S$, (có thể chọn $a=b$)
Suy ra $P(a.b)\implies f(a^2+ab)=a^2+ab\implies a^2+ab\in S$. 
$P(a,-a)\implies 0=a+af(-a)\implies f(-a)=-a\implies -a\in S$ và suy ra $b\in S$
$P(a,-b)\implies a^2-ab\in S.$
Suy ra $(a^2+ab)^2+(a^2+ab)(a^2-ab)=2a^3(a+b)\in S$.
$$P\left(b,\frac{a}{b}-b\right)\implies \frac{a}{b}-b\in S.$$
Vì $2a^3(a+b)\in S$ và $f(a^2)=af(f(a))=a^2\implies a^2\in S$ nên $\frac{2a^3(a+b)}{a^2}-a^2\in S\implies a^2+2ab\in S$.
Suy ra $\frac{a^2+2ab}{a}-a\in S\implies 2b\in S$,tương tự ta có $2a\in S$.
$2(a^2+2ab)\in S$ và $2a\in S$ suy ra $\frac{2a^2+4ab}{2a}-2a=2b-a\in S\implies a-2b\in S$
$\frac{a^2+2ab}{2a}-2a\in S\implies b-\frac{3a}{2}\in S$ vì $-2a\in S$ nên $b+3a\in S\implies b+3a-2a\in S\implies b+a\in S\implies b-a\in S$ ($-a\in S$)$\implies a-b\in S$.
Từ đây ta có $ab,\frac{a}{b}\in S$ thỏa mãn.
Ta có $\frac{1}{f(x)}\in S\quad\forall x\ne 0$ cho nên $f(x)\in S\quad\forall x$ (vẫn đúng với $x=0$).
Suy ra $$f(f(x))=f(x)\quad\forall x$$
$$P(x,0)\implies f(x^2)=xf(f(x))=xf(x)\quad\forall x\in\mathbb{R}$$
Cho $x\in\mathbb{R}$, nếu $f$ là đơn ánh at $0$ thì $\frac{f(x^2)}{f(x)}\in S\quad\forall x\ne 0$ suy ra $x\in S\quad\forall x\ne 0$ nhưng vẫn đúng với $x=0$,vì vậy $\boxed{f(x)=x\quad\forall x\in\mathbb{R}}$.
Thử lại thấy thỏa mãn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pcoVietnam02: 13-05-2021 - 16:30





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh