Ai có thể cho mình xin $1$ chứng minh về định lý Beatty
Trước đó mình xin phát biểu lại định lý
Phát biểu
Cho $a;b$ là các số vô tỷ dương sao cho $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1$
Khi đó $2$ dãy vô hạn
\left \{ A_{n} \right \}=\left \{ \left \lfloor a \right \rfloor \right ,\left \lfloor 2a \right \rfloor,\left \lfloor 3a \right \rfloor,...,\left \lfloor na \right \rfloor\}
\left \{ B_{n} \right \}=\left \{ \left \lfloor b \right \rfloor \right ,\left \lfloor 2b \right \rfloor,\left \lfloor 3b \right \rfloor,...,\left \lfloor nb \right \rfloor\}
Lập thành $2$ phân hoạch của tập số nguyên dương $\mathbb{N}^{*}$
P/s: Latex máy mình chả hiểu sao copy ra nó ghi lỗi xử lý toán
Chắc tại bạn chưa cho dấu "tiền" vào đầu và đuôi lệnh thôi, còn lời giải thì có thể kiếm ở nhiều tài liệu, mình xin trích tóm tắt:
Xét 1 đoạn số nguyên tùy ý:[$1,2,...,N$], ta sẽ đếm xem có bao nhiêu số trong $N-1$ số đằng trước $N$ thuộc 1 trong hai dãy.
Xét số nguyên dương n thỏa mãn $\left [ na \right ]<N$ hay $n< \frac{N}{a }$, hay các số n thỏa mãn là: $n=1,2,...,\left [ \frac{N}{a} \right ]$, tương tự ta được số các số thuộc 2 dãy là $\left [ \frac{N}{a} \right ]+\left [ \frac{N}{b } \right ]$
Do $a,b$ vô tỷ nên $\frac{N}{a},\frac{N}{b} \notin \mathbb{Z}$
Sử dụng tính chất phần nguyên suy ra đc: $N-2<\left [ \frac{N}{a} \right ]+\left [ \frac{N}{b} \right ]<N$ nên $\left [ \frac{N}{a} \right ]+\left [ \frac{N}{b} \right ]=N-1$, vậy ta có đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hr MiSu: 22-07-2018 - 12:13
