Chủ đề này có 12 trả lời

[pmt22042003]

S= $\sum_{k=1}^{n} \left [ \sqrt{k} \right ]$               với k= 2017.2019

[chanhquocnghiem]

S= $\sum_{k=1}^{n} \left [ \sqrt{k} \right ]$               với k= 2017.2019

Dễ thấy tổng $S$ trong đề bài có $2017.2019$ số hạng, trong đó có $3$ số hạng bằng $1$; $5$ số hạng bằng $2$; $7$ số hạng bằng $3$;...; $4035$ số hạng bằng $2017$. Vậy có thể viết :

$S=1.3+2.5+3.7+...+2017.4035$

$=(3+5+7+...+4035)+(5+7+9+...+4035)+(7+9+11+...+4035)+...+(4033+4035)+(4035)$

$=2019.2017+2020.2016+2021.2015+...+4035.1=2017.2018^2-(1^2+2^2+...+2017^2)$

$=2017.2018^2-\frac{2017.2018.4035}{6}=2017.1009.(4036-1345)=5476596723$

[DOTOANNANG]

$$\sum\limits_{x= 1}^{k}\,\left \lfloor \sqrt{\,x} \right \rfloor= \frac{1}{6}\left \lfloor \sqrt{k} \right \rfloor\left ( -\,2\left \lfloor \sqrt{\,k} \right \rfloor^{\,2}- 3\left \lfloor \sqrt{\,k} \right \rfloor+ 6\,k+ 5 \right )$$

@HaiDangel

[chanhquocnghiem]

$$\sum\limits_{x= 1}^{k}\,\left \lfloor \sqrt{\,x} \right \rfloor= \frac{1}{6}\left \lfloor \sqrt{k} \right \rfloor\left ( -\,2\left \lfloor \sqrt{\,k} \right \rfloor^{\,2}- 3\left \lfloor \sqrt{\,k} \right \rfloor+ 6\,k+ 5 \right )$$

@HaiDangel

Gọi $t$ là số nguyên dương thỏa mãn $k\in\left [ t^2;t^2+2t \right ]$. Khi đó $\left \lfloor \sqrt{k} \right \rfloor=t$ và ta có :

$\sum_{x=1}^{k}\left \lfloor \sqrt{x} \right \rfloor=1.3+2.5+3.7+...+(t-1)(2t-1)+t(k-t^2+1)$

$=(t+1)(t-1)+(t+2)(t-2)+...+(2t-1).1+t(k-t^2+1)$

$=(t-1)t^2-\left [ 1^2+2^2+...+(t-1)^2 \right ]+t(k-t^2+1)$

$=\frac{t}{6}\left [ 6t(t-1)-(t-1)(2t-1)+6(k-t^2+1) \right ]=\frac{t}{6}\left ( -2t^2-3t+6k+5 \right )$

$=\frac{\left \lfloor \sqrt{k} \right \rfloor}{6}\left ( -2\left \lfloor \sqrt{k} \right \rfloor^2-3\left \lfloor \sqrt{k} \right \rfloor+6k+5 \right )$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 01-05-2019 - 08:50

[dottoantap]

Có bao nhiêu số nguyên $n$ với $1\leq n\leq 1000$ thỏa $\left \lfloor \sqrt[3]{n} \right \rfloor\mid n$ ?

[chanhquocnghiem]

Có bao nhiêu số nguyên $n$ với $1\leq n\leq 1000$ thỏa $\left \lfloor \sqrt[3]{n} \right \rfloor\mid n$ ?

Đặt $\left \lfloor \sqrt[3]{n} \right \rfloor=k$

$1\leqslant n\leqslant 1000\Rightarrow 1\leqslant k\leqslant 10$

Xét 2 trường hợp :

a) $1\leqslant k\leqslant 9$ :

   $\left \lfloor \sqrt[3]{n} \right \rfloor=k\Leftrightarrow n$ từ $k^3$ đến $k^3+3k^2+3k$, hay nói cách khác $n$ từ $k(k^2)$ đến $k(k^2+3k+3)$ (trong đó có $3k+4$ số chia hết cho $k$)

   Vậy số số nguyên $n$ trong trường hợp này là $\sum_{k=1}^{9}(3k+4)=9.4+3\sum_{k=1}^{9}k=171$

b) $k=10$ :

   Trường hợp này $n$ chỉ có $1$ giá trị là $1000$ và nó thỏa mãn điều kiện đề bài (vì chia hết cho $k=10$)

 

Đáp án bài toán là $171+1=172$.

[dottoantap]

1/ Có bao nhiêu số nguyên dương $n$ thỏa $\left \lceil \frac{n}{101} \right \rceil+1> \frac{n}{100}$

2/ Có bao nhiêu cặp số phức có thứ tự $\left ( z_{1},z_{2} \right )$ mà  $z_{1}.z_{2}=10$ và phần thực, phần ảo của chúng là số nguyên.

[chanhquocnghiem]

1/ Có bao nhiêu số nguyên dương $n$ thỏa $\left \lceil \frac{n}{101} \right \rceil+1> \frac{n}{100}$

2/ Có bao nhiêu cặp số phức có thứ tự $\left ( z_{1},z_{2} \right )$ mà  $z_{1}.z_{2}=10$ và phần thực, phần ảo của chúng là số nguyên.

Bài 1 :

Đặt $f(n)=\left \lceil \frac{n}{101} \right \rceil+1$ ; $g(n)=\frac{n}{100}$

Xét các trường hợp :

+ $n$ từ $1$ đến $10100$ :

   $\frac{n}{100}-\left \lceil \frac{n}{101} \right \rceil\leqslant \frac{n}{100}-\frac{n}{101}=\frac{n}{10100}\leqslant 1\Leftrightarrow g(n)\leqslant f(n)$

   Dấu bằng chỉ xảy ra khi $n=10100$. Vậy trường hợp này có $10099$ số thỏa mãn.

+ $n$ thuộc $101$ số tiếp theo (từ $10101$ đến $10201$) :

   Khi đó $f(n)=102> g(n)$ (trừ 2 giá trị $n=10200$ và $n=10201$). Vậy trường hợp này có $99$ số thỏa mãn.

+ $n$ thuộc $101$ số tiếp theo (từ $10202$ đến $10302$) :

   Khi đó $f(n)=103> g(n)$ (trừ 3 giá trị $n=10300$, $n=10301$ và $n=10302$). Vậy trường hợp này có $98$ số thỏa mãn.

+ .............................................................

+ .............................................................

+ $n$ thuộc $101$ số tiếp theo (từ $19999$ đến $20099$) :

   Khi đó ....... Vậy trường hợp này có $1$ số thỏa mãn.

+ $n\geqslant 20100$ : Không có số nào thỏa mãn.

$\Rightarrow$ Có $10099+(99+98+97+...+1)=15049$ số nguyên dương $n$ thỏa mãn điều kiện đề bài.

 

Bài 2 :

Các số phức $z_1,z_2$ có phần thực và phần ảo là số nguyên $\Rightarrow$ điểm biểu diễn của chúng có các tọa độ là số nguyên

$\Rightarrow |z_1|$ và $|z_2|$ đều có dạng $\sqrt{a^2+b^2}$ ($a,b\in\mathbb{Z}$)

Mặt khác $z_1.z_2=10\Rightarrow |z_1|.|z_2|=10$

Từ đó suy ra $|z_1|$ và $|z_2|$ chỉ có thể lấy các giá trị sau : $1;\sqrt{2};2;\sqrt{5};\sqrt{10};2\sqrt{5};5;5\sqrt{2};10$

Xét các trường hợp :

+ Trong $(z_1,z_2)$ có $1$ số phức có module bằng $1$ : Có $8$ cặp như vậy.

+ Trong $(z_1,z_2)$ có $1$ số phức có module bằng $\sqrt{2}$ : Có $8$ cặp như vậy.

+ Trong $(z_1,z_2)$ có $1$ số phức có module bằng $2$ : Có $8$ cặp như vậy.

+ Trong $(z_1,z_2)$ có $1$ số phức có module bằng $\sqrt{5}$ : Có $16$ cặp như vậy.

+ Cả hai số phức có module bằng $\sqrt{10}$ : Có $8$ cặp như vậy.

Tổng cộng có $48$ cặp $(z_1,z_2)$ thỏa mãn điều kiện đề bài.

[dottoantap]

Bài cuối nhé!

Có bao nhiêu số phức $z$ mà $\left | z \right |< 30 $ và thỏa phương trình $ e^{z}=\frac{z-1}{z+1}$.

[chanhquocnghiem]

Bài cuối nhé!

Có bao nhiêu số phức $z$ mà $\left | z \right |< 30 $ và thỏa phương trình $ e^{z}=\frac{z-1}{z+1}$.

Đặt $z=a+bi$

Gọi $A$ và $B$ lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức $z-1$ và $z+1$.

$e^z=\frac{z-1}{z+1}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}|e^z|=\frac{|z-1|}{|z+1|}\\\arg(e^z)=\arg(z-1)-\arg(z+1) \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}e^a=\frac{|z-1|}{|z+1|}\\\tan b=\tan(OB,OA) \end{matrix}\right.$

Xét các trường hợp :

+ $a> 0$ : Khi đó $|z-1|< |z+1|$ nên phương trình $e^a=\frac{|z-1|}{|z+1|}$ không nghiệm đúng.

+ $a< 0$ : Khi đó $|z-1|> |z+1|$ nên phương trình $e^a=\frac{|z-1|}{|z+1|}$ cũng không nghiệm đúng.

+ $a=0$ : Khi đó $|z-1|=|z+1|$ nên phương trình $e^a=\frac{|z-1|}{|z+1|}$ nghiệm đúng. Vậy $a=0$

Bây giờ ta tính $b$. Vì $|z|< 30$ mà $a=0$ suy ra $|b|< 30$.

Dễ thấy nếu $b=0$ (tức $z=0$) thì phương trình $e^z=\frac{z-1}{z+1}$ không nghiệm đúng.

Với $b\neq 0$, ta có :

$\tan(OB,OA)=\frac{\frac{2}{b}}{1-\frac{1}{b^2}}=\frac{2b}{b^2-1}$    

Vậy ta có $\tan b=\frac{2b}{b^2-1}$     (*)

Dùng phương pháp đồ thị ta thấy phương trình (*) có $20$ nghiệm có $|b|< 30$ (không tính nghiệm $b=0$)

Suy ra có $20$ số phức thỏa mãn điều kiện đề bài.

[dottoantap]

Thật ngưỡng mộ anh!

Em xin trình bày, mong anh cho ý kiến. Và sử dụng dữ liệu anh đã viết, ta có phương trình mới:

$e^{bi}=\frac{bi-1}{bi+1}$

Nhận thấy điểm biểu diễn số phức của 2 vế đều nằm trên đường tròn đơn vị, ta cần xác định khi nào chúng trùng nhau.

Khi $b$ tăng từ $0$ đến $\infty$, thì góc của $bi-1$ giảm nghiêm ngặt từ $\pi $ đến $\frac{\pi }{2}$, trong khi góc của $bi+1$ tăng nghiêm ngặt từ $0 $ đến $\frac{\pi }{2}$ $\rightarrow$ góc của $\frac{bi-1}{bi+1}$ giảm nghiêm ngặt từ $\pi $ đến $0$.

Với $n$ nguyên không âm, xét $b$ từ $2n\pi $ đến $(2n+2)\pi $:

Khi $b$ tăng từ $2n\pi $ đến $(2n+1)\pi $ thì góc của $e^{bi}$ tăng nghiêm ngặt từ $0 $ đến $\pi$

Khi $b$ tăng từ $(2n+1)\pi $ đến dưới $(2n+2)\pi $ thì góc của $e^{bi}$ tăng nghiêm ngặt từ $\pi $ đến dưới $2\pi$

$\rightarrow e^{bi}$ và $\frac{bi-1}{bi+1}$ bằng nhau với đúng một giá trị của $b$ trong $(2n\pi,(2n+1)\pi)$ và không bằng nhau với các giá trị của $b$ trong $[(2n+1)\pi,(2n+2)\pi]$. Do đó, có đúng một giá trị $b$ trong mỗi khoảng $(0,\pi )$, $(2\pi ,3\pi )$, $(4\pi ,5\pi )$, $(6\pi ,7\pi )$ và $(8\pi ,9\pi )$ (không xét tiếp vì $9\pi < 30< 10\pi$)$\rightarrow$ Có $5$ giá trị  $b$ dương và do đối xứng, có thêm $5$ giá trị $b$ âm hay nói cách khác, có $10$ số phức $z$ thỏa yc đề bài.

[chanhquocnghiem]

 

$e^{bi}=\frac{bi-1}{bi+1}$

Nhận thấy điểm biểu diễn số phức của 2 vế đều nằm trên đường tròn đơn vị, ta cần xác định khi nào chúng trùng nhau.

Khi $b$ tăng từ $0$ đến $\infty$, thì góc của $bi-1$ giảm nghiêm ngặt từ $\pi $ đến $\frac{\pi }{2}$, trong khi góc của $bi+1$ tăng nghiêm ngặt từ $0 $ đến $\frac{\pi }{2}$ $\rightarrow$ góc của $\frac{bi-1}{bi+1}$ giảm nghiêm ngặt từ $\pi $ đến $0$.

Với $n$ nguyên không âm, xét $b$ từ $2n\pi $ đến $(2n+2)\pi $:

Khi $b$ tăng từ $2n\pi $ đến $(2n+1)\pi $ thì góc của $e^{bi}$ tăng nghiêm ngặt từ $0 $ đến $\pi$

Khi $b$ tăng từ $(2n+1)\pi $ đến dưới $(2n+2)\pi $ thì góc của $e^{bi}$ tăng nghiêm ngặt từ $\pi $ đến dưới $2\pi$

$\rightarrow e^{bi}$ và $\frac{bi-1}{bi+1}$ bằng nhau với đúng một giá trị của $b$ trong $(2n\pi,(2n+1)\pi)$ và không bằng nhau với các giá trị của $b$ trong $[(2n+1)\pi,(2n+2)\pi]$. Do đó, có đúng một giá trị $b$ trong mỗi khoảng $(0,\pi )$, $(2\pi ,3\pi )$, $(4\pi ,5\pi )$, $(6\pi ,7\pi )$ và $(8\pi ,9\pi )$ (không xét tiếp vì $9\pi < 30< 10\pi$)$\rightarrow$ Có $5$ giá trị  $b$ dương và do đối xứng, có thêm $5$ giá trị $b$ âm hay nói cách khác, có $10$ số phức $z$ thỏa yc đề bài.

Vậy khi $b$ tăng từ $-\infty$ đến $0$, thì góc của $bi-1$ giảm nghiêm ngặt từ $\frac{3\pi}{2}$ đến $\pi$, trong khi góc của $bi+1$ tăng nghiêm ngặt từ $-\frac{\pi}{2}$ đến $0$ $\rightarrow$ góc của $\frac{bi-1}{bi+1}$ giảm nghiêm ngặt từ $2\pi $ đến $\pi$.

Áp dụng cách lập luận của bạn thì trong các khoảng $(-10\pi;-9\pi),(-8\pi;-7\pi),(-6\pi;-5\pi),(-4\pi;-3\pi),(-2\pi;-\pi)$ cũng sẽ có thêm $5$ giá trị $b$ âm (nhưng $5$ giá trị này không đối xứng qua $0$ với $5$ giá trị dương kia). Vậy là chỉ có $10$ số phức thỏa yêu cầu đề bài. Chúc mừng bạn đã giải đúng

[dottoantap]

Em đã dùng từ không đúng mà lại đặt ở vị trí "nhạy cảm " trong câu; bây giờ đọc lại, em cũng nghĩ như anh. Có lẽ, dùng từ "tương tự " thì dễ chấp nhận hơn nhỉ?
Cám ơn anh rất nhiều.