TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG
LẦN THỨ XIV-PHÚ THỌ 2018
Câu 1(4 điểm). Giải hệ phương trình
$ \left\{\begin{matrix} &2x+y-297(x-y)\sqrt{x-y}=3 \\ &x(4x-2y+5)+2018\sqrt{x-y}=2y^2+5y \end{matrix}\right. $
Câu 2(4 điểm). Cho hàm số $f(x)=x^2+bx+c(b,c \in \mathbb{R})$.
Giả sử $\left\{ x \in \mathbb{R}, \vert f(x)\vert \le 1\right\}= \displaystyle \bigcup _{i=1}^n\left[ \alpha_i; \beta_i\right]\ne \emptyset$.
Chứng minh rằng $ \displaystyle \sum_{i=1}^n \vert \alpha_i - \beta_i \vert \le 2\sqrt{2} $
Câu 3(4 điểm). Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, với $AB<AC<BC$. Gọi $D$ là một điểm thuộc cạnh $ BC $, $ E $ là một điểm trên tia $ BA $ sao cho $ BD=BE=AC $. $ P $ là giao điểm của cạnh $ AC $ với $ (BDE) $. $ Q $ là giao điểm thứ hai của $ BP $ với $ (O) $. Chứng minh rằng $ AQ+CQ=BP$.
Câu 4(4 điểm). Cho $p$ là một số nguyên tố, $ n $ là số nguyên dương lớn hơn $ 1 $ và nguyên tố cùng nhau với $ p^{p+1}-p$. Gọi $\left\{a_1, a_2,...,a_k\right\} $ là một hệ thặng dư thu gọn theo modulo $ n $. Chứng minh rằng $ a_1^p+a_2^p+...+a_k^p $ chia hết cho $ n $.
Câu 5(4 điểm). Trong một buổi tập văn nghệ chào mừng chào mừng trại hè Hùng Vương lần thứ $ XIV$, có $n(n \ge 3)$ học sinh được sắp thành một hàng ngang. Thầy Tuấn Anh chọn ra một đội văn nghệ gồm $k$ bạn từ $n$ bạn trên$ (1<k \le \dfrac{n+1}{2}) $ sao cho hai bạn đứng cạnh nhau thì không cùng được chọn. Hỏi thầy Tuấn có bao nhiêu cách chọn như vậy?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhquannbk: 29-07-2018 - 18:58
