Đến nội dung

Hình ảnh

$\int_{T} f(z)dz=0$

- - - - - complex analysis

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1667 Bài viết
Gọi $U$ là một tập mở của $\mathbb{C}$ và $T$ là một tam giác có phần trong bị chứa trong $U$. Chứng minh rằng nếu $f$ là chỉnh hình trên $U$ trừ điểm $w$ trong $T$ và $f$ bị chặn gần $w$ thì ta có:
$$\int_{T} f(z)dz= 0$$
Em không nghĩ được ra cách nào cơ bản, bài này nằm trong chương $2$ sách Stein, nhưng nếu làm phải dùng kiến thức chương $3$. Hy vọng mn giúp đỡ.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 04-08-2018 - 01:49

  • Nxb yêu thích

$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$


#2
Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 679 Bài viết

Gọi $U$ là một tập mở của $\mathbb{C}$ và $T$ là một tam giác có phần trong bị chứa trong $U$. Chứng minh rằng nếu $f$ là chỉnh hình trên $U$ trừ điểm $w$ trong $T$ và $f$ bị chặn gần $w$ thì ta có:
$$\int_{T} f(z)dz= 0$$
Em không nghĩ được ra cách nào cơ bản, bài này nằm trong chương $2$ sách Stein, nhưng nếu làm phải dùng kiến thức chương $3$. Hy vọng mn giúp đỡ.

Ta bắt chước lại chứng minh định lý Goursat được trình bày trong sách của Stein: Vẫn chia theo cách trong sách, tồn tại một dãy các tam giác $...T^1\subset T^0=T$ sao cho $w \in \bigcap T^i$ và 

$$\int_{T}f dz=\int_{T^1}f dz=...$$

bằng cách áp dụng định lý Goursat. Do $f$ bị chặn quanh $w$ nên tồn tại $M$ sao cho

$$|f(z)|\leq M$$

với mọi $z\in T^N,$ với $N$ đủ lớn. Như vậy, với mọi $n\geq N$

$$|\int_{T^n}fdz|\leq M.l(T^n)=M.2^{-n}l(T),$$

do đó tiến tới 0 khi $n\to \infty.$  


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 04-08-2018 - 18:27


#3
bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1667 Bài viết

Ta bắt chước lại chứng minh định lý Goursat được trình bày trong sách của Stein: Vẫn chia theo cách trong sách, tồn tại một dãy các tam giác $...T^1\subset T^0=T$ sao cho $w \in \bigcap T^i$ và 

$$\int_{T}f dz=\int_{T^1}f dz=...$$

bằng cách áp dụng định lý Goursat. Do $f$ bị chặn quanh $w$ nên tồn tại $M$ sao cho

$$|f(z)|\leq M$$

với mọi $z\in T^N,$ với $N$ đủ lớn. Như vậy, với mọi $n\geq N$

$$|\int_{T^n}fdz|\leq M.l(T^n)=M.2^{-n}l(T),$$

do đó tiến tới 0 khi $n\to \infty.$

Làm sao có $w \in \cap T^{i}$ được nhỉ?


$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$


#4
Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 679 Bài viết

Làm sao có $w \in \cap T^{i}$ được nhỉ?

Ta có thể giả sử $w$ nằm ở tâm của tam giác $T$ vẫn bằng cách áp dụng định lý Goursat. Ví dụ các đỉnh của $T$ là $A,B,C$ và một tam giác có tâm tại $w$ là $A',B',C',$ áp dụng định lý Goursat để thấy tích phân của $f$ trên các hình (bình hành nếu ta chọn khéo tam giác $A'B'C'$) AA'BB',AA'CC',BB'CC' triệt tiêu và do đó $\int_T fdz=\int_{A'B'C'}fdz.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 05-08-2018 - 20:27


#5
bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1667 Bài viết

Ta có thể giả sử $w$ nằm ở tâm của tam giác $T$ vẫn bằng cách áp dụng định lý Goursat. Ví dụ các đỉnh của $T$ là $A,B,C$ và một tam giác có tâm tại $w$ là $A',B',C',$ áp dụng định lý Goursat để thấy tích phân của $f$ trên các hình (bình hành nếu ta chọn khéo tam giác $A'B'C'$) AA'BB',AA'CC',BB'CC' triệt tiêu và do đó $\int_T fdz=\int_{A'B'C'}fdz.$

Vấn đề nếu chọn như vậy anh luôn phải chọn cái tam giác mở giữa, mà khi lấy tích phân cái tam giác này chưa chắc nó lớn hơn ba cái kia.


$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$


#6
Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 679 Bài viết

Vấn đề nếu chọn như vậy anh luôn phải chọn cái tam giác mở giữa, mà khi lấy tích phân cái tam giác này chưa chắc nó lớn hơn ba cái kia.

Anh không hiểu ý lắm. Ở đây anh không so sánh gì cả. Vì ta có định lý Goursat rồi nên ta chỉ có đẳng thức chứ không cần so sánh nữa, mặc dù cách làm bắt chước chứng minh định lý Goursat.







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: complex analysis

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh