$$\int_{T} f(z)dz= 0$$
Em không nghĩ được ra cách nào cơ bản, bài này nằm trong chương $2$ sách Stein, nhưng nếu làm phải dùng kiến thức chương $3$. Hy vọng mn giúp đỡ.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 04-08-2018 - 01:49
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 04-08-2018 - 01:49
$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$
Gọi $U$ là một tập mở của $\mathbb{C}$ và $T$ là một tam giác có phần trong bị chứa trong $U$. Chứng minh rằng nếu $f$ là chỉnh hình trên $U$ trừ điểm $w$ trong $T$ và $f$ bị chặn gần $w$ thì ta có:
$$\int_{T} f(z)dz= 0$$
Em không nghĩ được ra cách nào cơ bản, bài này nằm trong chương $2$ sách Stein, nhưng nếu làm phải dùng kiến thức chương $3$. Hy vọng mn giúp đỡ.
Ta bắt chước lại chứng minh định lý Goursat được trình bày trong sách của Stein: Vẫn chia theo cách trong sách, tồn tại một dãy các tam giác $...T^1\subset T^0=T$ sao cho $w \in \bigcap T^i$ và
$$\int_{T}f dz=\int_{T^1}f dz=...$$
bằng cách áp dụng định lý Goursat. Do $f$ bị chặn quanh $w$ nên tồn tại $M$ sao cho
$$|f(z)|\leq M$$
với mọi $z\in T^N,$ với $N$ đủ lớn. Như vậy, với mọi $n\geq N$
$$|\int_{T^n}fdz|\leq M.l(T^n)=M.2^{-n}l(T),$$
do đó tiến tới 0 khi $n\to \infty.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 04-08-2018 - 18:27
Ta bắt chước lại chứng minh định lý Goursat được trình bày trong sách của Stein: Vẫn chia theo cách trong sách, tồn tại một dãy các tam giác $...T^1\subset T^0=T$ sao cho $w \in \bigcap T^i$ và
$$\int_{T}f dz=\int_{T^1}f dz=...$$
bằng cách áp dụng định lý Goursat. Do $f$ bị chặn quanh $w$ nên tồn tại $M$ sao cho
$$|f(z)|\leq M$$
với mọi $z\in T^N,$ với $N$ đủ lớn. Như vậy, với mọi $n\geq N$
$$|\int_{T^n}fdz|\leq M.l(T^n)=M.2^{-n}l(T),$$
do đó tiến tới 0 khi $n\to \infty.$
Làm sao có $w \in \cap T^{i}$ được nhỉ?
$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$
Làm sao có $w \in \cap T^{i}$ được nhỉ?
Ta có thể giả sử $w$ nằm ở tâm của tam giác $T$ vẫn bằng cách áp dụng định lý Goursat. Ví dụ các đỉnh của $T$ là $A,B,C$ và một tam giác có tâm tại $w$ là $A',B',C',$ áp dụng định lý Goursat để thấy tích phân của $f$ trên các hình (bình hành nếu ta chọn khéo tam giác $A'B'C'$) AA'BB',AA'CC',BB'CC' triệt tiêu và do đó $\int_T fdz=\int_{A'B'C'}fdz.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 05-08-2018 - 20:27
Ta có thể giả sử $w$ nằm ở tâm của tam giác $T$ vẫn bằng cách áp dụng định lý Goursat. Ví dụ các đỉnh của $T$ là $A,B,C$ và một tam giác có tâm tại $w$ là $A',B',C',$ áp dụng định lý Goursat để thấy tích phân của $f$ trên các hình (bình hành nếu ta chọn khéo tam giác $A'B'C'$) AA'BB',AA'CC',BB'CC' triệt tiêu và do đó $\int_T fdz=\int_{A'B'C'}fdz.$
Vấn đề nếu chọn như vậy anh luôn phải chọn cái tam giác mở giữa, mà khi lấy tích phân cái tam giác này chưa chắc nó lớn hơn ba cái kia.
$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$
Vấn đề nếu chọn như vậy anh luôn phải chọn cái tam giác mở giữa, mà khi lấy tích phân cái tam giác này chưa chắc nó lớn hơn ba cái kia.
Anh không hiểu ý lắm. Ở đây anh không so sánh gì cả. Vì ta có định lý Goursat rồi nên ta chỉ có đẳng thức chứ không cần so sánh nữa, mặc dù cách làm bắt chước chứng minh định lý Goursat.
Toán Đại cương →
Giải tích →
Vài điểm cần làm rõ trong complex analysis của Stein & Shakarchi.Bắt đầu bởi Nxb, 22-11-2015 complex analysis và . |
|
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh