Bài này chủ yếu là dựa vào hai bổ đề:
1) Cho điểm $M$ bất kì trong tam giác $ABC$. Gọi $M_1, M_2, M_3$ lần lượt là điểm đổi xứng của $M$ qua trung điểm các cạnh $BC,CA,AB$ thì $AM_1, BM_2, CM_3$ đồng quy
Chứng minh đơn giản, để ý các hình bình hành được tạo ra. Ba đường đó đồng quy tại trung điểm mỗi đường.
2) Cho tứ giác $ABCD$, gọi $AB$ cắt $CD$ tại $E$, $AD$ cắt $BC$ tại $F$ thì trung điểm $AC, BD, EF$ thẳng hàng (nói cách khác, trung điểm của các đường chéo của một tứ giác toàn phần thẳng hàng)
Đường thằng này gọi là đường thẳng Newton-Gauss, có thể chứng minh bằng cách dùng diện tích hình bình hành hoặc định lý Menelaus.
Quay trở lại bài toán. Gọi $M_1, M_2, M_3$ là điểm đối xứng của $M$ qua trung điểm $BC,CA,AB$. Áp dụng bổ đề 2 cho ta $A, A_2, M_1$ thẳng hàng. Tương tự $B, B_2, M_2$ thẳng hàng và $C, C_2, M_3$ thẳng hàng. Như vậy ta cần chứng minh $AM_1, BM_2, CM_3$ đồng quy, chính là bổ đề 1 ở trên.
Mặt khác chúng đồng quy tại trung điểm $AM_1$, mà dễ dàng chứng minh được $G$ là trọng tâm tam giác $AMM_1$ nên suy ra điểm đồng quy thuộc $MG$
P/S: không biết có lời giải nào hay hơn bằng vectơ không, bài này là toán 10 mà nhỉ