Vừa ôn vừa học, mình cũng muốn trả lời vài câu. Có nhiều câu không hiểu kí hiệu và từ ngữ, mong bác KK giải thích ý nghĩa câu hỏi và mình sẽ tìm hiểu tiếp.
1 định nghĩa toán tử Fradholm: không biết là Fredholm hay Fradholm ??
2 ý nghĩa của chúng trong
http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?K lý thuyết cho đại số toán tử. mình không học cái này và chưa nghe ai nói, nhưng chắc trong sách có nói đến, bác kaka giới thiệu một cuốn được không?
3 Cho ví dụ một
http://dientuvietnam...tex.cgi?C^*-đại số đủ hay với K lý thuyết không tầm thường: có thể cho khái niệm thế nào là C*-đại số đủ hay không? Khái niệm monotone complete C*-algebra thì biết chứ đủ thì chịu.
4 Làm sao để mọi người xác định một toán tử là compact? Cho ví dụ: Định nghĩa toán tử compact: cho X, Y là các khôn gian Banach, ánh xạ tuyến tính u:X->Y gọi là compact nếu tập hợp u(S) compact trong không gian Y, S là quả cầu đơn vị đóng trong X. Trong trường hợp này u(S) hữu hạn và toán tử u cũng hữu hạn. Từ định nghĩa này có thể chứng minh được rằng ảnh của một toán tử compact separable. Tiện thể mình dạo qua một vài tính chất của toán tử compact và một số vấn đề khá ấn tượng liên quan đến nó. Kí hiệu không gian các toán tử compact trong không gian H là C(H).
Định lý: toán tử A trong L(X,Y) compact khi và chỉ khi với mọi dãy hữu hạn (f_n) trong X thì dãy (Af_n) có chứa dãy con hội tụ trong Y.
Mọi toán tử có chiều hữu hạn là compact, từ đó toán tử đồng nhất trong không gian hữu hạn chiều compact nhưng toán tử đồng nhất trong không gian Banach vô hạn chiều không compact tức là quả cầu đơn vị trong không gian Banach vô hạn chiều không compact. Có thể chứng minh được rằng quả cầu đơn vị của không gian định chuẩn compact khi và chỉ khi không gian đó hữu hạn chiều.
Một vài tính chất: (i) A_n \in C(H), A \in B(H), ||A_n -A||->0, khi đó A \in C(H); (ii) C(H) là không gian banach; (iii) Nếu H là không gian tách được thì toán tử A compact khi và chỉ khi A là giới hạn theo chuẩn của các toán tử có chiều hữu hạn; (iv) A compact thì A* cũng compact; (v) A compact, B \in B(H) thì AB, BA cũng compact; (vi) A compact thì R(I-A) đóng (R(A) là ảnh của A); (vii) cho A compact, P là orthoprojection, khi đó R((I+A)P) đóng; (viii) toán tử compact chuyển dãy hội tụ yếu thành dãy hội tụ đều.
Còn một số kết quả nữa, ví dụ như định lý Fredholm, định lý Riesz - Schauder (A compact, khi đó phổ của A là discrete set không có điểm giới hạn khác 0. Đồng thời mọi giá trị thuộc phổ là giá trị riêng với factor hữu hạn, tức là các không gian riêng đều hữu hạn chiều), định lý Hilbert-Smidt (A self-adj. compact operator trong H, khi đó tồn tại complete orthonormal basis {f_n} sao cho Af_n=\lambda_n f_n và \lambda_n ->0, n-> \infty). Quan trọng nhất theo mình là kết quả về sự biểu diễn của một toán tử compact: A là toán tử compact. Khi đó tồn tại một orthonormal sets (không cần complete) (f_n) và (g_n) và các số dương \lambda_n (n chạy từ 1 đến N) sao cho A=\sum_1^N \lambda_n (f_n, (.))g_n.
Lý thuyết toán tử compact được nghiên cứu kĩ là vì nó đầu tiên được ứng dụng nhiều trong việc ứng dụng các phương trình tích phân trong việc giải các bài toán biên trong phương trình toán lý. Các bạn có thể tìm hiểu về bài toán Dirichle trong cuốn sách của Reed và Simon.
Một vấn đề không biết đã được giải quyết hay chưa: trong không gian banach bất kì thì mọi toán tử compact có là giới hạn đều của một dãy các toán tử hữu hạn chiều???
5. Chứng minh toán tử tích phân Hilbert Smittd là compact. Nếu mình không nhầm thì toán tử tích phân H-S có dạng (Tf)(t)=\int_M K(t,s)f(s) \mu(ds). K(s,t) là nhân của T, T được cho trên một không gian hàm M nào đó với độ đo \mu.
5.1. Nếu K(t,s) liên tục trên hình vuông đơn vị [0,1]x[0,1] thì T correctly defined trên không gian hàm C[0,1] với độ đo lebegse tuyến tính \mu. Khi đó T hữu hạn và compact. T hữu hạn thì hiển nhiên. Còn tính compact có thể chứng minh theo định nghĩa.
5.2. Cho L^2[M, \mu] - separable Hilbert space, K(s,t) \in L^2[M.M, \mu . \mu]. Khi đó với điều kiện của 5.1 thì T compact. Chứng minh khẳng định này khó hơn, phải dùng một bổ đề: cho (f_i(t)), (g_j(s)) là các orthonormal basis của L^2[M_1, \mu_1], L^2[M_2, \mu_2]. Khi đó (f_i(t).g_j(s)) là orthonormal basic của không gian L^2[M_1xM_2, \mu_1x\mu_2]. Chứng minh khẳng định 5.2 chừng hơn một trang, có thể tìm được trong các sách nên chắc chỉ cần nói qua. Riêng bổ đề mình thấy nó có một kết quả tương tự trong chủ đề tensor product của các không gian Hilbert và Banach. Nếu ai có hứng thú bàn về tensor product của các đại số toán tử và các ứng dụng của nó thì có thể bàn riêng với mình, mình cũng đang quan tâm tới nó.
6. Người ta định nghĩa một
http://dientuvietnam...tex.cgi?C^*-đại số là tách được nếu ta có thể biểu diễn lên một không gian Hilbert tách được.
http://dientuvietnam...imetex.cgi?C^*- đại số nào tách được như là các không gian topo?
7. Định lý mật độ Kaplansky: Cho A là *-đại số thuộc B(H). Kí hiệu N=[A]_s - bao đóng mạnh của A. Khi đó ta có các điều sau: (i) A_1 trù mật mạnh trong N_1 (A_1 là quả cầu đơn vị); (ii)A_1^{sa} trù mật mạnh trong N_1^{sa};(iii)A_1^{+} trù mật mạnh trong N_1^{+}. Chứng minh của định lý này có thể tìm được trong các sách về C*-đại số và đại số von Neumann.
8. ứng dụng của nó, ví dụ cho
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?l^\infty(S^1) có đảng cấu không? Chúng có thể được nhúng trong mọt II_1 factor hay không?: nhờ giải thích rõ kí hiệu, không hiểu S^1 là gì.
10. Định nghĩa chỉ số của một factor:
11. thế nào là các factor hyperfinite có chỉ số <4
12. Cho
http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?S là unilateral shift. Tính commutant của
http://dientuvietnam...tex.cgi?C^*(S^2): mong giải thích kí hiệu và định nghĩa.
13. các toán tử Hilbert Smitdt và các toán tử lớp vết có tạo thành một
http://dientuvietnam...cgi?C^*-algebra dưới chuẩn Hilbert-Schitdt và chuẩn vết hay không?
14. Định nghĩa nuclear operator (toán tử nhân): toán tử A trong B(H) gọi là toán tử nhân nếu nó có vết ma trận hữu hạn, tức là với mọi orthonormal basis (f_n) trong H thì chuỗi Tr(A)=\sum_n (Af_n, f_n) hội tụ. Một vài tính chất: (i) mọi toán tử nhân thì compact và tổng của chuỗi vết không phụ thuộc vào basis. Chứng minh khẳng định này dùng định nghĩa là định lý phổ. (ii) Nếu A là toán tử nhân và A=A* thì vết của A Tr(A) =\sum_n \lambda_n, ngược lại nếu A là toán tử compact và A=A* sao cho chuỗi \sum_n \lambda_n hội tụ tuyệt đối với \lambda_n là các hệ số riêng của A, khi đó A là toán tử nhân. Chắc phải dùng đến tính chất này để tìm ví dụ cho câu 15.
Có một mối liên hệ giữa 2 không gian toán tử nhân và toán tử compact như sau: C(H)*=C_1(H) (không gian toán tử nhân), C_1(H)*=B(H). Dấu "=" ở đây được hiểu là isomorphism. Hiểu C(H)* là khôn gian liên hợp với C(H). Chứng minh dài và lòng vòng có dùng chủ yếu khái niệm bilinear forms và biểu diễn của các toán tử compact và toán tử nhân.
15. Ví dụ một toán tử tích phân mà là toán tử nuclear: trước tiên ta đưa ra khái niệm chung của toán tử Hilbert-Smidt: toán tử A trong B(H) gọi là toán tử Hilbert-Smidt nếu Tr(T*T) hữu hạn. Lúc đó toán tử tích phân ở câu 5 là toán tử Hilbert-Smidt (tên gọi thế mà, hì hì) (và cũng là compact như ở 5.2). Khi đó theo định nghĩa thì T*T là một toán tử tích phân và sẽ là toán tử nhân vì nó có Tr(T*T) hữu hạn. Để rõ ràng hơn thì ta cần tìm dạng của T*, cái này đơn giản, có thể dùng định nghĩa về toán tử T* và tính chất compact của T để tìm, kết quả có dạng giống như T nhưng nhân của T* là \overline{K(s,t)}.
16. Có thể nói gì về phổ của toán tử nhân. Nó có thể là tập rỗng hay không? Một toán tử nhân đồng thời là toán tử compact, chỉ cần xem lại các khái niệm của toán tử compact và tính chất về phổ của toán tử compact.
17. Cho ví dụ một toán tử trên không gian Banach thực mà không có phó phổ: cái này mình không hiểu lắm, khái niệm "phó phổ" ấy mà. Mong được giải thích và cho định nghĩa.
18. Tổng các phần tử của phổ của toán tử nhân có hội tụ hay không? Đã nói ở trên.
19. hãy chỉ ra một toán tử compact có phổ là
http://dientuvietnam...cgi?[0,1]:20. định nghĩa toán tử Hilbert-Schmidt. Cho ví dụ trên
http://dientuvietnam...?L^2([0,1]): Đã nói ở trên.
21. Thế nào là phổ của toán tử http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?T là toán tử trên không gian Banach, định nghĩa http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f là một hàm nguyên, định nghĩa http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?fT: thì đây là toán tử nhân chứ còn gì nữa.
24. Lý thuyết Riesz của toán tử compact: có một định lý Riesz về toán tử compact như mình đã nhắc tới ở trên, còn nguyên cả một lý thuyết Riesz thì chịu, chưa nghe bao giờ. Nhưng hình như còn một định lý F. Riesz khác trong cuốn sách của Rudin được phát biểu như sau: cho Y là không gian con riêng đóng của không gian định chuẩn X và \epsilon >0. Khi đó tồn tại x\in X với chuẩn 1 sao cho ||x+Y||>1-\epsilon. Nếu mình không nhầm thì kết quả này được dùng để chứng minh cái toán tử đồng nhất trong không gian banach vô hạn chiều là không compact, nhưng vì sao kết quả đơn giản này lai đóng vai trò "tối quan trọng" trong lý thuyết toán tử compact (và mình cũng đoán là lý thuyết Riesz của toán tử compact) thì thật sự chưa hiểu lắm.
24. Toán tử Fredholm. Toán tử Fredholm có thể được viết dưới dạng tổng của một toán tử khả nghịch và một toán tử compact hay không?
Định nghĩa: Cho X, Y là các không gian Banach, toán tử A thuộc B(X,Y). A gọi là toán tử Fredholm nếu ker(A) hữu hạn chiều và A(X) có codimension trong Y là hữu hạn. Tất cả các toán tử trong không gian hữu hạn chiều đều là toán tử Fredholm, vì thế người ta chủ yếu xét trường hợp vô hạn chiều.
Toán tử Fredholm có thể biểu diễn dưới dạng tổng một toán tử khả nghịch và một toán tử compact khi và chỉ khi chỉ số của nó bằng 0. Chứng minh có thể đọc trong cuốn sách "lý thuyết C*-đại số" của Murphy.
24. Chỉ số Fredholm? Tính chất.
Kí hiệu nul(A) là dimension của ker(A), def(A) - codimension của A(X) trong Y. Chỉ số Fredholm của A gọi là số ind(A)=nul(A)-def(A). Không biết tác giả ra câu hỏi thế nào, tức đóng hay mở, nên thật sự mình rất khó trả lời. Chỉ đọc được gì thì viết thế thôi, vì không chuyên mà, hì hì.
Định lý 24.1. cho U: X->Y, V: Y->Z là các toán tử Fredholm, các không gian đều banach. Khi đó V_o U cũng là toán tử Fredholm và ind(V_o U)=ind(V)+ind(U).
Định lý 24.2. Cho U compact trên không gian banach X và \lambda là số phức khác 0. Khi đó ta có: (i) toán tử U-\lambda là toán tử Fredholm và có chỉ số bằng 0; (ii) nếu ascent (U-\lambda)=p, thì X=ker(U-\lambda)(+)(U-\lambda)^p (X) (dấu (+) hiểu là tổng trực tiếp). Hệ quả của định lý này là alternative Fredholm mà chứng minh của nó có đụng đến chỉ số Fredholm: toán tử U\lambda đơn ánh khi và chỉ khi nó toàn ánh.
Định lý 24.3. Cho X là không gian banach vô hạn chiều và F là tập hợp tất cả các toán tử Fredholm trên X. Khi đó F là tập mở trong B(X) và hàm số ind: F->Z (tập số nguyên), u-> ind(u) liên tục.
