Đến nội dung

Hình ảnh

CMR: tồn tại 1 tam giác có 3 đỉnh lấy từ 8 điểm đã cho có diện tích không vượt quá 1/10

hình học tổ hợp

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
Tantran2510

Tantran2510

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 42 Bài viết

Lấy 4 điểm ở miền trong của 1 tứ giác lồi để cùng với 4 đỉnh ta được 8 điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Biết diện tích tứ giác là 1. CMR: tồn tại 1 tam giác có 3 đỉnh lấy từ 8 điểm đã cho có diện tích không vượt quá $\frac{1}{10}$. Tổng quát hóa bài toán cho n-giác lồi với n điểm nằm trong đa giác đó



#2
BurakkuYokuro11

BurakkuYokuro11

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 230 Bài viết

Gọi 4 đỉnh của tứ giác là $A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}$ , tạo thành tứ giác $A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}$

Gọi 4 điểm trong tứ giác là $B_{1},B_{2},B_{3},B_{4}$

Xét điểm $B_{1}$ , tạo với 4 đỉnh tứ giác 4 tam giác là : $\Delta B_{1}A_{1}A_{2} ,\Delta B_{1}A_{2}A_{3} ,\Delta B_{1}A_{3}A_{4},\Delta B_{1}A_{4}A_{1}$

Xét điểm $B_{2}$ :

Trường hợp 1 :   $B_{2}$ nằm trong 1 trong 4 tam giác: $\Delta B_{1}A_{1}A_{2} ,\Delta B_{1}A_{2}A_{3} ,\Delta B_{1}A_{3}A_{4},\Delta B_{1}A_{4}A_{1}$.

KMTTQ , tam giác đó là $\Delta B_{1}A_{1}A_{2}$ 

Số tam giác tạo thành tăng thêm 2 ( Từ $\Delta B_{1}A_{1}A_{2}$ thành $\Delta B_{2}B_{1}A_{2}$ ,$\Delta B_{2}B_{1}A_{1},\Delta B_{2}A_{1}A_{2}$

Trường hợp 2 : $B_{2}$ nằm trên 1 trong 4 cạnh :$B_{1}A_{1};B_{1}A_{2};B_{1}A_{3};B_{1}A_{4}$

KMTTQ, cạnh đó là $B_{1}A_{2}$

Số tam giác được tạo thành thêm 2 ( Từ $\Delta B_{1}A_{1}A_{2};\Delta B_{1}A_{2}A_{3}$ thành $\Delta B_{2}B_{1}A_{1};\Delta B_{2}B_{1}A_{3};\Delta B_{2}A_{2}A_{1};\Delta B_{2}A_{2}A_{3}$)

Cứ từ điểm thứ 2, số tam giác tạo thành luôn tăng thêm 2. Như vậy số tam giác tạo thành là $4+2+2+2=10$

Tồn tại 1 trong số 10 tg đó , 1 tg có diện tích nhỏ hơn $\frac{1}{10}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BurakkuYokuro11: 06-08-2018 - 11:47

WangtaX

 


#3
BurakkuYokuro11

BurakkuYokuro11

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 230 Bài viết

Đại khái thì :

Tổng quát hóa bài toán cho n-giác lồi với n điểm nằm trong đa giác đó

Xét lần lượt n điểm trong đa giác đó

Điểm đầu tiên tạo ra : n tam giác 

Điểm thứ 2 đến điểm thứ n ( Có n-1 điểm ) lần lượt tạo ra 2 tam giác ( Tham khảo bài trên)

Nên số tam giác tạo thành là [n +2(n-1)] , tồn tại 1 tam giác nhỏ hơn $\frac{1}{3n-2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BurakkuYokuro11: 08-08-2018 - 20:48

WangtaX

 


#4
Tantran2510

Tantran2510

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 42 Bài viết

Gọi 4 đỉnh của tứ giác là $A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}$ , tạo thành tứ giác $A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}$

Gọi 4 điểm trong tứ giác là $B_{1},B_{2},B_{3},B_{4}$

Xét điểm $B_{1}$ , tạo với 4 đỉnh tứ giác 4 tam giác là : $\Delta B_{1}A_{1}A_{2} ,\Delta B_{1}A_{2}A_{3} ,\Delta B_{1}A_{3}A_{4},\Delta B_{1}A_{4}A_{1}$

Xét điểm $B_{2}$ :

Trường hợp 1 :   $B_{2}$ nằm trong 1 trong 4 tam giác: $\Delta B_{1}A_{1}A_{2} ,\Delta B_{1}A_{2}A_{3} ,\Delta B_{1}A_{3}A_{4},\Delta B_{1}A_{4}A_{1}$.

KMTTQ , tam giác đó là $\Delta B_{1}A_{1}A_{2}$ 

Số tam giác tạo thành tăng thêm 2 ( Từ $\Delta B_{1}A_{1}A_{2}$ thành $\Delta B_{2}B_{1}A_{2}$ ,$\Delta B_{2}B_{1}A_{1},\Delta B_{2}A_{1}A_{2}$

Trường hợp 2 : $B_{2}$ nằm trên 1 trong 4 cạnh :$B_{1}A_{1};B_{1}A_{2};B_{1}A_{3};B_{1}A_{4}$

KMTTQ, cạnh đó là $B_{1}A_{2}$

Số tam giác được tạo thành thêm 2 ( Từ $\Delta B_{1}A_{1}A_{2};\Delta B_{1}A_{2}A_{3}$ thành $\Delta B_{2}B_{1}A_{1};\Delta B_{2}B_{1}A_{3};\Delta B_{2}A_{2}A_{1};\Delta B_{2}A_{2}A_{3}$)

Cứ từ điểm thứ 2, số tam giác tạo thành luôn tăng thêm 2. Như vậy số tam giác tạo thành là $4+2+2+2=10$

Tồn tại 1 trong số 10 tg đó , 1 tg có diện tích nhỏ hơn $\frac{1}{10}$

 

Đại khái thì :

Tổng quát hóa bài toán cho n-giác lồi với n điểm nằm trong đa giác đó

Xét lần lượt n điểm trong đa giác đó

Điểm đầu tiên tạo ra : n tam giác 

Điểm thứ 2 đến điểm thứ n ( Có n-1 điểm ) lần lượt tạo ra 2 tam giác ( Tham khảo bài trên)

Nên số tam giác tạo thành là [n +2(n-1)] , tồn tại 1 tam giác nhỏ hơn $\frac{1}{3n-2}$

cảm ơn ạ



#5
Tantran2510

Tantran2510

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 42 Bài viết

Gọi 4 đỉnh của tứ giác là $A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}$ , tạo thành tứ giác $A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}$

Gọi 4 điểm trong tứ giác là $B_{1},B_{2},B_{3},B_{4}$

Xét điểm $B_{1}$ , tạo với 4 đỉnh tứ giác 4 tam giác là : $\Delta B_{1}A_{1}A_{2} ,\Delta B_{1}A_{2}A_{3} ,\Delta B_{1}A_{3}A_{4},\Delta B_{1}A_{4}A_{1}$

Xét điểm $B_{2}$ :

Trường hợp 1 :   $B_{2}$ nằm trong 1 trong 4 tam giác: $\Delta B_{1}A_{1}A_{2} ,\Delta B_{1}A_{2}A_{3} ,\Delta B_{1}A_{3}A_{4},\Delta B_{1}A_{4}A_{1}$.

KMTTQ , tam giác đó là $\Delta B_{1}A_{1}A_{2}$ 

Số tam giác tạo thành tăng thêm 2 ( Từ $\Delta B_{1}A_{1}A_{2}$ thành $\Delta B_{2}B_{1}A_{2}$ ,$\Delta B_{2}B_{1}A_{1},\Delta B_{2}A_{1}A_{2}$

Trường hợp 2 : $B_{2}$ nằm trên 1 trong 4 cạnh :$B_{1}A_{1};B_{1}A_{2};B_{1}A_{3};B_{1}A_{4}$

KMTTQ, cạnh đó là $B_{1}A_{2}$

Số tam giác được tạo thành thêm 2 ( Từ $\Delta B_{1}A_{1}A_{2};\Delta B_{1}A_{2}A_{3}$ thành $\Delta B_{2}B_{1}A_{1};\Delta B_{2}B_{1}A_{3};\Delta B_{2}A_{2}A_{1};\Delta B_{2}A_{2}A_{3}$)

Cứ từ điểm thứ 2, số tam giác tạo thành luôn tăng thêm 2. Như vậy số tam giác tạo thành là $4+2+2+2=10$

Tồn tại 1 trong số 10 tg đó , 1 tg có diện tích nhỏ hơn $\frac{1}{10}$

KMTTQ là gì ạ .-.



#6
BurakkuYokuro11

BurakkuYokuro11

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 230 Bài viết

>:)  >:)  Không mất tính tổng quát 

 

KMTTQ là gì ạ .-.


WangtaX

 






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hình học tổ hợp

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh