Mọi người làm giùm câu b,c. Phần chứng minh vành thương là trường chứng minh bằng cách chứng minh I là Idean tối đại, phần chứng minh đẳng cấu xây dựng ánh xạ giùm. Mình nghĩ được hướng đi mà ko làm được!. Xin cảm ơn mọi người nhiều mình đang rất cần!
Bài 1: Trong vành $\mathbb{Z}\left [ x \right ]$xét tập con:$I= \left \{ f\left ( x\ \right )\in \mathbb{Z}\left [ x \right ] |f\left ( 0 \right )\vdots 3\right \}$
a) Chứng minh rằng: I la idean cua vành $\mathbb{Z}\left [ x \right ]$
b) Chứng minh I là idean sinh bởi x và 3.$\left ( I=< x,3> \right )$
c) Chứng minh rằng vành thương $\mathbb{Z}\left [ x \right ]/I$ là trường. Tính số phần tử của trường này.
Bài 2: Cho A là miền nguyên, $a\in A,A\left [ x \right ]$ là vành các đa thức với hệ số thuộc A. Kí hiệu:$I=\left \{ f\left ( x \right )\in A|f\left ( a \right )=0 \right \}$
a) Chứng minh rằng: I la idean cua vành $A\left [ x \right ]$
b) Chứng minh I là idean chính. Tìm số phần tử sinh của I.
c) Chứng minh vành thương $A\left [ x \right ]/I$đẳng cấu với A.
Bài 3 : Cho $\mathbb{Z}\left ( i \right )=\left \{ a+bi|a,b\in \mathbb{Z} \right \}$
a) Chứng minh$\mathbb{Z}\left ( i \right )$ là vành Euclide
b) Gia sử $I=< 7>$ là idean chính sinh bởi $7\in \mathbb{Z}\left ( i \right )$Chứng minh vành thương $\mathbb{Z}\left ( i \right )/I$ là trường.
c) Tính số phần tử của trường$\mathbb{Z}\left ( i \right )/I$