Chủ đề này có 3 trả lời

[Maytroi]

cho đa thức P(x) bậc n có n nghiệm dương phân biệt. Chứng minh rằng đa thức G(x)=P(x)-P'(x) cũng có n nghiệm dương phân biệt

[YoLo]

cho đa thức P(x) bậc n có n nghiệm dương phân biệt. Chứng minh rằng đa thức G(x)=P(x)-P'(x) cũng có n nghiệm dương phân biệt

$P(x)$ có $n$ nghiệm dương phân biệt gọi là $a_{n}>a_{n-1}>...>a_{2}>a_{1}>0$

Khi đó $P(x)=m(x-a_{1})(x-a_{2})(x-a_{3})...(x-a_{n})$ ( không mất tính TQ giả sử $m>0$ )

Khi ấy $P'(x)=$m$\sum_{j=1}^{n}\prod_{i=1;i\neq j}^{n}(x-a_{i})$

Xét $2$ TH : $n$ chẵn và $n$ lẻ

Nếu $n$ chẵn ta thấy $P(a_{1})=P(a_{2})=P(a_{3})=...=P(a_{n})=0$

cũng đồng thời suy ra được $P'(a_{1})<0;P'(a_{2})>0;P'(a_{3})<0;P'(a_{4})>0;...;P'(a_{n})>0$

suy ra $G(a_{1})>0;G(a_{2})<0;G(a_{3})>0;G(a_{4})<0;...;G(a_{n})<0$

Vì $P(x)$ là đa thức có bậc $n$  => $P'(x)$ là đa thức có bậc không quá $n-1$

=> $G(x)$ là đa thức có bậc $n$ với hệ số cao nhất là $m>0$

=> $\lim_{x\rightarrow +\propto }G(x)=+\propto$ => $\exists a>a_{n}$ mà $G(a)>0$

Theo định lý về giá trị trung gian

=> $G(x)$ có  $n$ nghiệm dương phân biệt lần lượt thuộc vào các khoảng $(a_{1};a_{2});(a_{2};a_{3});(a_{3};a_{4});...;(a_{n};a)$

$G(x)$ có bậc $n$

=> $G(x)$ có đúng $n$ nghiệm dương phân biệt

TH $n$ lẻ hoàn toàn tương tự chỉ việc đổi tất cả $>0$ thành $<0$ và ngược lại

P/s: Bài này cũng có thể dùng Rolle nhưng cũng tương tự

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi YoLo: 10-08-2018 - 17:29

[NHoang1608]

Xét đa thức $H(x)=-e^{x}P(x)$ có $n$ nghiệm dương phân biệt do $P(x)$ có $n$ nghiệm dương suy ra $H'(x)=e^{x}(P(x)-P'(x))$ có ít nhất $n-1$ nghiệm dương theo $Rolle$ suy ra đa thức $P(x)-P'(x)$ có ít nhất $n-1$ nghiệm dương.

Đến đây chỉ ra thêm $1$ như cách giải trên nữa là được.

[Maytroi]

Xét đa thức $H(x)=-e^{x}P(x)$ có $n$ nghiệm dương phân biệt do $P(x)$ có $n$ nghiệm dương suy ra $H'(x)=e^{x}(P(x)-P'(x))$ có ít nhất $n-1$ nghiệm dương theo $Rolle$ suy ra đa thức $P(x)-P'(x)$ có ít nhất $n-1$ nghiệm dương.

Đến đây chỉ ra thêm $1$ như cách giải trên nữa là được.

thế nhưng nghiệm cuối đâu chỉ ra nó phân biệt với các nghiệm trên đâu nhỉ ?