Đến nội dung

Hình ảnh

Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên thoả mãn đề bài

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 10 trả lời

#1
Tea Coffee

Tea Coffee

    Trung úy

  • Điều hành viên THPT
  • 772 Bài viết
Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho $9$ mà mỗi số có tối đa $2008$ chữ số và trong đó có ít nhất hai chữ số $9$

Treasure every moment that you have!
And remember that Time waits for no one.
Yesterday is history. Tomorrow is a mystery.
Today is a gift. That’s why it’s called the present.


#2
YoLo

YoLo

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 223 Bài viết

Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho $9$ mà mỗi số có tối đa $2008$ chữ số và trong đó có ít nhất hai chữ số $9$

Nếu là số có $1$ chữ số chỉ có $0;9$

Tổng quát xét số có $k$ chữ số ( $k\geq 2$)

Có  $10$ cách chọn chữ số hàng đơn vị ( xõa từ $0$ đến $9$)

      $10$ cách chọn chữ số hàng chục

        ..........

      $10$ cách chọn chữ số hàng thứ $k-1$

Tổng các chữ số các hàng đơn vị , chục, ...., $k-1$  có thể $\equiv 0,1,2,3,4,5,6,7,8(mod9)$

Vì là chữ số hàng thứ $k$ ( không thể bằng $0$) nên $\exists !1$ cách chọn chữ số hàng thứ $k$)

nên với số có $k$ chữ số  thì có $10^{k-1}$ số tm

vậy tất cả $\sum_{k=2}^{2008}10^{k-1}+2$


Người ta không mắc sai lầm vì dốt mà là vì tưởng là mình giỏi :closedeyes:


#3
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho $9$ mà mỗi số có tối đa $2008$ chữ số và trong đó có ít nhất hai chữ số $9$

Số số tự nhiên có tối đa $2008$ chữ số và chia hết cho $9$ là :

$M=\frac{10^{2008}-1}{9}+1=\underbrace{111...1}_{2008\ chu\ so\ 1}+1=\sum_{k=0}^{2007}10^k+1$ (ta gọi đây là tập $B$)

Gọi $N$ là số số tự nhiên thuộc tập $B$ không chứa chữ số $9$. Ta tính $N$ :

+ Điền $2007$ chữ số đầu tiên : Có $9^{2007}$ cách (vì có thể điền chữ số $0$ nên mỗi vị trí có $9$ cách)

+ Điền chữ số cuối cùng : $1$ cách

$\Rightarrow N=9^{2007}$

Gọi $P$ là số số tự nhiên thuộc tập $B$ chỉ chứa đúng $1$ chữ số $9$. Ta tính $P$ :

+ Chọn vị trí điền chữ số $9$ : Có $2008$ cách.

+ Điền thêm $2006$ chữ số nữa : Có $9^{2006}$ cách (có thể điền chữ số $0$)

+ Điền chữ số cuối cùng : $1$ cách.

$\Rightarrow P=2008.9^{2006}$

 

Đáp án là $M-N-P=\sum_{k=0}^{2007}10^k+1-9^{2007}-2008.9^{2006}=\sum_{k=0}^{2007}10^k-2017.9^{2006}+1$

Cũng có thể viết là $\sum_{k=1}^{2008}10^{k-1}-2017.9^{2006}+1=\sum_{k=2}^{2008}10^{k-1}-2017.9^{2006}+2$

(Đáp án này nhỏ hơn đáp án của bạn YoLo ở trên rất nhiều)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 12-08-2018 - 14:37

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#4
BurakkuYokuro11

BurakkuYokuro11

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 230 Bài viết

1. Tính số các số ko có chữ số 9 nào và chia hết cho 9 (số loại 1).

Giả sử $m=\overline{a_1a_2...a_{2008}}$. Ta có $a_i=0,1,...,8$.

Ta có số $k=\overline{a_1a_2...a_{2007}}$ có $9^{2007}$ lựa chọn và $a_{2008}$ có duy nhất $1$ lựa chọn phụ thuộc vào $k$. Do đó ở trường hợp này số các số thỏa mãn là $9^{2007}$

2. Tính số các số có không quá 2008 chữ số chia hết cho 9và có 1 chữ số 9 (số loại 2).

Ta loại chữ số 9 đó đi và đi tính số các số có 2007 chữ số chia hết cho 9 và có 0 chữ số 9. Như trên ta có số các số đó là $9^{2006}$.

Nhưng ta có với mỗi số đó và số 9 thì cho ra $2008.9^{2006}$ số loại 2.

Vậy tổng cộng có $9^{2007}+2008.9^{2006}$ số cả hai loại 1 và 2.

Do đó số các số thỏa mãn bài toán ban đầu là 
$\dfrac{10^{2008}+8}{9}-2017.9^{2006}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BurakkuYokuro11: 11-08-2018 - 15:36

WangtaX

 


#5
YoLo

YoLo

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 223 Bài viết
(Đáp án này nhỏ hơn đáp án của bạn YoLo ở trên rất nhiều)

A cho e hỏi lời giải của e mắc chỗ nào e suy đi suy lại vẫn ra vậy

mà e đã thử với TH có tối đa là $2$ chữ số và $3$ chữ số và thấy KQ ko có j sai


Người ta không mắc sai lầm vì dốt mà là vì tưởng là mình giỏi :closedeyes:


#6
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

A cho e hỏi lời giải của e mắc chỗ nào e suy đi suy lại vẫn ra vậy

mà e đã thử với TH có tối đa là $2$ chữ số và $3$ chữ số và thấy KQ ko có j sai

Bạn quên mất dữ kiện : "...trong đó có ít nhất $2$ chữ số $9$"


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#7
toanhocsocap222

toanhocsocap222

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 12 Bài viết

Hỏi trong các số từ 1 cho đến 2008, có bao nhiêu số có tổng các chữ số chia hết cho 5?



#8
dottoantap

dottoantap

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 162 Bài viết

Hỏi trong các số từ 1 cho đến 2008, có bao nhiêu số có tổng các chữ số chia hết cho 5?

Từ $2000$ đến $2008$ có $2$ số thỏa yêu cầu.

Tiến hành tính các số từ $0000$ đến $1999$ thỏa yc. Viết hàm sinh cho mỗi chữ số, theo qui tắc xoắn ta có:

$G\left ( x \right )=\left ( 1+x \right )\left ( 1+x+x^{2}+...+x^{9} \right )^{3}=\frac{\left ( 1+x \right )\left ( 1-x^{10} \right )^{3}}{\left ( 1-x \right )^{3}}$

Chịu khó khai triển chuỗi và xét các số hạng có số mũ dạng $5k$ với $k=\overline{1;5}$ ta được:

$...+36x^{5}+...+118x^{10}+...+148x^{15}+...+81x^{20}+...+16x^{25}+...$

Tổng các hệ số của các số hạng trên là số các số từ $0000$ đến $1999$ thỏa yc:

$36+118+148+81+16=399\text { số}$ 

Vậy số các số thỏa yêu cầu đề bài là:

$399+2=401\text { số}$


++++++++++++++++++++++++++++

Everything is impossible until you do it.

“Ai không làm gì thì mới không bao giờ sai”. Cứ làm đi, đừng sợ sai, trừ khi cái sai đó là cái sai gây tai hoạ cho người khác.


#9
toanhocsocap222

toanhocsocap222

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 12 Bài viết

Từ $2000$ đến $2008$ có $2$ số thỏa yêu cầu.

Tiến hành tính các số từ $0000$ đến $1999$ thỏa yc. Viết hàm sinh cho mỗi chữ số, theo qui tắc xoắn ta có:

$G\left ( x \right )=\left ( 1+x \right )\left ( 1+x+x^{2}+...+x^{9} \right )^{3}=\frac{\left ( 1+x \right )\left ( 1-x^{10} \right )^{3}}{\left ( 1-x \right )^{3}}$

Chịu khó khai triển chuỗi và xét các số hạng có số mũ dạng $5k$ với $k=\overline{1;5}$ ta được:

$...+36x^{5}+...+118x^{10}+...+148x^{15}+...+81x^{20}+...+16x^{25}+...$

Tổng các hệ số của các số hạng trên là số các số từ $0000$ đến $1999$ thỏa yc:

$36+118+148+81+16=399\text { số}$ 

Vậy số các số thỏa yêu cầu đề bài là:

$399+2=401\text { số}$

Dùng kiến thức cấp II được không anh? Em mới học lớp 8 ạ.



#10
dottoantap

dottoantap

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 162 Bài viết

Dùng kiến thức cấp II được không anh? Em mới học lớp 8 ạ.

E hèm...Khó nhỉ! nhưng mình cũng xin cố gắng giải:
- Từ 1 đến 9: có $1$ số thỏa yc (là số 5)
- Từ 2000 đến 2008: có $2$ số thỏa yc (là số 2003 và 2008)
- Từ 10 đến 1999: Ta nhận thấy rằng có các nhóm 10 số liên tiếp :
Từ 10 đến 19: có 10 số, mà tổng csố của chúng lập thành 10 số tự nhiên liên tiếp nên suy ra có $2$ số có tổng csố chia hết cho 5. (Ở đây, là số 14 và 19)
Từ 20 đến 29: có 10 số, mà tổng csố của chúng lập thành 10 số tự nhiên liên tiếp nên suy ra có $2$ số có tổng csố chia hết cho 5. (Ở đây, là số 23 và 28)
Tương tự cho các nhóm 30 đến 39; 40 đến 49 và..vv......
Như vậy, từ 10 đến 1999, cứ mỗi nhóm 10 số liên tiếp ta có $2$ số thỏa yc.
Cho nên số nhóm là:
$\frac{1999-10+1}{10}=199$
Do đó, số các số từ 1 đến 2008 có tổng csố chia hết cho 5 là:
$199.2+1+2=401\text{ số}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dottoantap: 17-10-2018 - 17:30

++++++++++++++++++++++++++++

Everything is impossible until you do it.

“Ai không làm gì thì mới không bao giờ sai”. Cứ làm đi, đừng sợ sai, trừ khi cái sai đó là cái sai gây tai hoạ cho người khác.


#11
toanhocsocap222

toanhocsocap222

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 12 Bài viết

E hèm...Khó nhỉ! nhưng mình cũng xin cố gắng giải:
- Từ 1 đến 9: có $1$ số thỏa yc (là số 5)
- Từ 2000 đến 2008: có $2$ số thỏa yc (là số 2003 và 2008)
- Từ 10 đến 1999: Ta nhận thấy rằng có các nhóm 10 số liên tiếp :
Từ 10 đến 19: có 10 số, mà tổng csố của chúng lập thành 10 số tự nhiên liên tiếp nên suy ra có $2$ số có tổng csố chia hết cho 5. (Ở đây, là số 14 và 19)
Từ 20 đến 29: có 10 số, mà tổng csố của chúng lập thành 10 số tự nhiên liên tiếp nên suy ra có $2$ số có tổng csố chia hết cho 5. (Ở đây, là số 23 và 28)
Tương tự cho các nhóm 30 đến 39; 40 đến 49 và..vv......
Như vậy, từ 10 đến 1999, cứ mỗi nhóm 10 số liên tiếp ta có $2$ số thỏa yc.
Cho nên số nhóm là:
$\frac{1999-10+1}{10}=199$
Do đó, số các số từ 1 đến 2008 có tổng csố chia hết cho 5 là:
$199.2+1+2=401\text{ số}$

Cảm ơn anh rất nhiều, cách giải này thì rất dễ hiểu  :D






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh