Đến nội dung

Hình ảnh

$KB=KC$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
riddle???

riddle???

    24724345310

  • Thành viên
  • 688 Bài viết

Cho tam giác $ABC$ với các đường cao $BB',CC'$. Gọi $L,M,N$ lần lượt là trung điểm của $C'B',BC',CB'$. Đường thẳng đi qua $M$ vuông góc với $BL$ cắt đường thẳng đi qua $N$ vuông góc với $CL$ tại $K$. Chứng minh: $KB=KC$
 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 05-04-2014 - 19:44


#2
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết

Cho tam giác $ABC$ với các đường cao $BB',CC'$. Gọi $L,M,N$ lần lượt là trung điểm của $C'B',BC',CB'$. Đường thẳng đi qua $M$ vuông góc với $BL$ cắt đường thẳng đi qua $N$ vuông góc với $CL$ tại $K$. Chứng minh: $KB=KC$
 

Lời giải.

Untitled.png

$MK \cap BL=I, NK \cap CL=J$.

Ta có $BK^2=BI^2+IK^2=(BM^2-MI^2)+(LK^2-IL^2)=BM^2+LK^2-(MI^2+IL^2)=BM^2+LK^2-ML^2$.

$KC^2=KJ^2+JC^2=(LK^2-LJ^2)+(NC^2-NJ^2)=LK^2+NC^2-(LJ^2+NJ^2)=LK^2+NC^2-LN^2$.

Khi đó $BK^2-CK^2=(BM^2+LN^2)-(ML^2+NC^2)= \frac14 \left[ C'B^2+C'C^2- (B'B^2+B'C^2) \right]=\frac 14 (BC^2-BC^2)=0$.

Do đó $BK^2=CK^2$ nên $BK=CK$. $\blacksquare$


Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#3
buiminhhieu

buiminhhieu

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1150 Bài viết

Lời giải.

attachicon.gifUntitled.png

$MK \cap BL=I, NK \cap CL=J$.

Ta có $BK^2=BI^2+IK^2=(BM^2-MI^2)+(LK^2-IL^2)=BM^2+LK^2-(MI^2+IL^2)=BM^2+LK^2-ML^2$.

$KC^2=KJ^2+JC^2=(LK^2-LJ^2)+(NC^2-NJ^2)=LK^2+NC^2-(LJ^2+NJ^2)=LK^2+NC^2-LN^2$.

Khi đó $BK^2-CK^2=(BM^2+LN^2)-(ML^2+NC^2)= \frac14 \left[ C'B^2+C'C^2- (B'B^2+B'C^2) \right]=\frac 14 (BC^2-BC^2)=0$.

Do đó $BK^2=CK^2$ nên $BK=CK$. $\blacksquare$

Ê! Toàn ông nhanh thật đấy!

Đây là 1 phần trong chuyên mục thách đấu trận 111 báo toán tuổi thơ số 131(gàn đây  :closedeyes: )


%%- Chuyên Vĩnh Phúc

6cool_what.gif


#4
buiminhhieu

buiminhhieu

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1150 Bài viết

mọi người có thể tham khảo thêm bài này có phần c/m $KB=KC$

Ê! Toàn ông nhanh thật đấy!

Đây là 1 phần trong chuyên mục thách đấu trận 111 báo toán tuổi thơ số 131(gàn đây  :closedeyes: )

Đây là nguyên văn đề

Cho tam giác $ABC$ không vuông .$BE,CF$ là các đường cao, trực tâm $H$,$M,N,P,Q,S$ theo thứ tự là trung điểm $BF,CE,BE,,CF,EF$. $K$ là giao điểm của đường thẳng qua $M$ vuông góc với $BS$ và đương thảng qua $N$ vuông góc với $CS$. $L$ là giao điểm của đường thẳng qua $P$ vuông góc với $BS$ và đường qua $Q$ vuông góc $CS$. C/M $2KL=HA$

LG:

Phần đầu tác giả đã c/m KB=KC

LB=LC

nên $KL$ vuông góc $BC$

Lấy D,R để $AHDF,QRKL$ là các hình bình hành 

thấy $HE$ vuông góc $NC$ $HD$ song song $AF$  $AF$ vg $CF$ $CF$ ss $NS$  nên $\widehat{EHD}=\widehat{CNS};\Delta CHE\sim \Delta CAF\Rightarrow \frac{HE}{HD}=\frac{EC}{FC}=\frac{2NC}{2NS}=\frac{NC}{NS}$

$\Rightarrow \Delta EHD\sim CNS\Rightarrow \widehat{HED}=\widehat{NCS}\Rightarrow \Delta DEF\sim \Delta RNQ$

$\Rightarrow \frac{KL}{HA}=\frac{RQ}{DF}=\frac{QN}{EF}=\frac{1}{2}\Rightarrow 2HL=HA$


%%- Chuyên Vĩnh Phúc

6cool_what.gif


#5
viet14042000

viet14042000

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 38 Bài viết

Tên: Trần Hoàng Việt

Lớp: 8/7

Trường: THCS Lê Anh Xuân

Quận: Tân Phú

Thành phố: Hồ Chí Minh

Địa chỉ: 6/6 Nguyễn Nhữ Lãm, phường Phú Thọ Hoà, Quận Tân Phú

 

Gọi giao điểm BL và M là D, CL và NK là E

Dùng định lí pythagore trong các tam giác vuông

BK2 = BD2+DK2=BM2-MD2+LK2-DL2=(BM2+KL2) - (MD2+DL2)

Mà MD2+DL2= ML2.  Do đó: BK2=BM2+KL2-ML2 

Chứng minh tương tự ta được CK2 = KL2+NC2-NL2

VẬY BK2 - CK2 = BM2 + KL2-(ML2+NL2) = $\frac{1}{4}[BC'^{2} + CC'^{2} - (BB'^{2} + B'C^{2}) = \frac{1}{4} (BC^{2}- BC^{2}) =0$

=> BK2=CK2 =>BK=CK (đpcm)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viet14042000: 20-04-2014 - 08:46





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh