Đến nội dung


Hình ảnh

$KB=KC$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 riddle???

riddle???

    24724345310

  • Thành viên
  • 688 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:???

Đã gửi 18-07-2006 - 15:33

Cho tam giác $ABC$ với các đường cao $BB',CC'$. Gọi $L,M,N$ lần lượt là trung điểm của $C'B',BC',CB'$. Đường thẳng đi qua $M$ vuông góc với $BL$ cắt đường thẳng đi qua $N$ vuông góc với $CL$ tại $K$. Chứng minh: $KB=KC$
 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 05-04-2014 - 19:44


#2 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4268 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 06-04-2014 - 07:10

Cho tam giác $ABC$ với các đường cao $BB',CC'$. Gọi $L,M,N$ lần lượt là trung điểm của $C'B',BC',CB'$. Đường thẳng đi qua $M$ vuông góc với $BL$ cắt đường thẳng đi qua $N$ vuông góc với $CL$ tại $K$. Chứng minh: $KB=KC$
 

Lời giải.

Untitled.png

$MK \cap BL=I, NK \cap CL=J$.

Ta có $BK^2=BI^2+IK^2=(BM^2-MI^2)+(LK^2-IL^2)=BM^2+LK^2-(MI^2+IL^2)=BM^2+LK^2-ML^2$.

$KC^2=KJ^2+JC^2=(LK^2-LJ^2)+(NC^2-NJ^2)=LK^2+NC^2-(LJ^2+NJ^2)=LK^2+NC^2-LN^2$.

Khi đó $BK^2-CK^2=(BM^2+LN^2)-(ML^2+NC^2)= \frac14 \left[ C'B^2+C'C^2- (B'B^2+B'C^2) \right]=\frac 14 (BC^2-BC^2)=0$.

Do đó $BK^2=CK^2$ nên $BK=CK$. $\blacksquare$


“People's dream will never end!” - Marshall D. Teach.


#3 buiminhhieu

buiminhhieu

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1150 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Inequality

Đã gửi 06-04-2014 - 07:37

Lời giải.

attachicon.gifUntitled.png

$MK \cap BL=I, NK \cap CL=J$.

Ta có $BK^2=BI^2+IK^2=(BM^2-MI^2)+(LK^2-IL^2)=BM^2+LK^2-(MI^2+IL^2)=BM^2+LK^2-ML^2$.

$KC^2=KJ^2+JC^2=(LK^2-LJ^2)+(NC^2-NJ^2)=LK^2+NC^2-(LJ^2+NJ^2)=LK^2+NC^2-LN^2$.

Khi đó $BK^2-CK^2=(BM^2+LN^2)-(ML^2+NC^2)= \frac14 \left[ C'B^2+C'C^2- (B'B^2+B'C^2) \right]=\frac 14 (BC^2-BC^2)=0$.

Do đó $BK^2=CK^2$ nên $BK=CK$. $\blacksquare$

Ê! Toàn ông nhanh thật đấy!

Đây là 1 phần trong chuyên mục thách đấu trận 111 báo toán tuổi thơ số 131(gàn đây  :closedeyes: )


%%- Chuyên Vĩnh Phúc

6cool_what.gif


#4 buiminhhieu

buiminhhieu

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1150 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Inequality

Đã gửi 06-04-2014 - 08:01

mọi người có thể tham khảo thêm bài này có phần c/m $KB=KC$

Ê! Toàn ông nhanh thật đấy!

Đây là 1 phần trong chuyên mục thách đấu trận 111 báo toán tuổi thơ số 131(gàn đây  :closedeyes: )

Đây là nguyên văn đề

Cho tam giác $ABC$ không vuông .$BE,CF$ là các đường cao, trực tâm $H$,$M,N,P,Q,S$ theo thứ tự là trung điểm $BF,CE,BE,,CF,EF$. $K$ là giao điểm của đường thẳng qua $M$ vuông góc với $BS$ và đương thảng qua $N$ vuông góc với $CS$. $L$ là giao điểm của đường thẳng qua $P$ vuông góc với $BS$ và đường qua $Q$ vuông góc $CS$. C/M $2KL=HA$

LG:

Phần đầu tác giả đã c/m KB=KC

LB=LC

nên $KL$ vuông góc $BC$

Lấy D,R để $AHDF,QRKL$ là các hình bình hành 

thấy $HE$ vuông góc $NC$ $HD$ song song $AF$  $AF$ vg $CF$ $CF$ ss $NS$  nên $\widehat{EHD}=\widehat{CNS};\Delta CHE\sim \Delta CAF\Rightarrow \frac{HE}{HD}=\frac{EC}{FC}=\frac{2NC}{2NS}=\frac{NC}{NS}$

$\Rightarrow \Delta EHD\sim CNS\Rightarrow \widehat{HED}=\widehat{NCS}\Rightarrow \Delta DEF\sim \Delta RNQ$

$\Rightarrow \frac{KL}{HA}=\frac{RQ}{DF}=\frac{QN}{EF}=\frac{1}{2}\Rightarrow 2HL=HA$


%%- Chuyên Vĩnh Phúc

6cool_what.gif


#5 viet14042000

viet14042000

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 38 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Tp HỒ CHÍ MINH
  • Sở thích:Toán và chỉ toán :3

Đã gửi 19-04-2014 - 11:33

Tên: Trần Hoàng Việt

Lớp: 8/7

Trường: THCS Lê Anh Xuân

Quận: Tân Phú

Thành phố: Hồ Chí Minh

Địa chỉ: 6/6 Nguyễn Nhữ Lãm, phường Phú Thọ Hoà, Quận Tân Phú

 

Gọi giao điểm BL và M là D, CL và NK là E

Dùng định lí pythagore trong các tam giác vuông

BK2 = BD2+DK2=BM2-MD2+LK2-DL2=(BM2+KL2) - (MD2+DL2)

Mà MD2+DL2= ML2.  Do đó: BK2=BM2+KL2-ML2 

Chứng minh tương tự ta được CK2 = KL2+NC2-NL2

VẬY BK2 - CK2 = BM2 + KL2-(ML2+NL2) = $\frac{1}{4}[BC'^{2} + CC'^{2} - (BB'^{2} + B'C^{2}) = \frac{1}{4} (BC^{2}- BC^{2}) =0$

=> BK2=CK2 =>BK=CK (đpcm)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viet14042000: 20-04-2014 - 08:46





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh