Chủ đề này có 1 trả lời

[Zz Isaac Newton Zz]

Cho trước số nguyên dương $n.$ Có bao nhiêu đa thức $P(x)$ có các hệ số thuộc tập $S=\left \{ 0,1,2,3 \right \}$ và thỏa mãn điều kiện $P(2)=n.$

[nhungvienkimcuong]

Cho trước số nguyên dương $n.$ Có bao nhiêu đa thức $P(x)$ có các hệ số thuộc tập $S=\left \{ 0,1,2,3 \right \}$ và thỏa mãn điều kiện $P(2)=n.$

 

Gọi các số của $x^0,x,x^2,...$ lần lượt là $a_0,a_1,a_2,...\in \mathcal{A}=\left \{ 0,1,2,3 \right \}$ ta cần tìm số nghiệm nguyên thuộc tập $\mathcal{A}$ thỏa mãn

$a_0+2a_1+4a_2+8a_3+...=n$

sử dụng hàm sinh ta có được số nghiệm cần tìm là hệ số của $x^n$ trong khai triển

$\begin{array}{cl} \mathcal{F}(x) &=\left ( x^{0.1}+x^{1.1}+x^{1.2}+x^{1.3} \right )\left ( x^{0.2}+x^{1.2}+x^{2.2}+x^{3.2} \right )\left ( x^{0.4}+x^{1.4}+x^{2.4}+x^{3.4} \right )...\\ \\&=\left ( 1+x+x^2+x^3 \right )\left ( 1+x^2+x^4+x^6 \right )\left ( 1+x^4+x^8+x^{12} \right )... \\ \\&=\frac{1-x^4}{1-x}.\frac{1-x^8}{1-x^2} .\frac{1-x^{16}}{1-x^4}... \\ \\&=\frac{1}{(1-x)(1-x^2)}\\ \\ &=(1+x+x^2+x^3+...)\left ( 1+x^2+x^4+x^6+... \right ) \end{array}$

tới đây trùng với khai triển của hàm sinh số nghiệm nguyên không âm của phương trình $a+2b=n$

tới đây thì dễ rồi và đáp số là $\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor+1$