Cho ba số thực dương x,y,z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$P=\frac{4}{2x+y+2\sqrt{2yz}}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{x^2+z^2}{y}+\frac{3}{2}y}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tea Coffee: 24-09-2018 - 19:49
Tìm giá trị nhỏ nhất:$P=\frac{4}{2x+y+2\sqrt{2yz}}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{x^2+z^2}{y}+\frac{3}{2}y}$
Bắt đầu bởi datduong2002, 05-09-2018 - 16:17
#2
Đã gửi 10-09-2018 - 21:53
CatKhanhNguyen
-
- Thành viên mới
-
- 15 Bài viết
Binh nhì
Ta có:
$P=\frac{4}{2x+y+2\sqrt{2yz}}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{x^{2}+z^{2}}{y}+\frac{3}{2}y} \geq \frac{4}{2x+y+2z+y}+\frac{1}{2}\sqrt{\left (\frac{x^{2}+z^{2}}{y}+\frac{1}{2}y \right )+y}\geq \frac{2}{x+y+z}+\frac{1}{2}\sqrt{2\sqrt{\frac{x^{2}+z^{2}}{2}}+y}\geq \frac{2}{x+y+z}+\frac{1}{2}\sqrt{x+y+z}$
Đặt $t=x+y+z$. Ta tìm cực trị hàm số:
$f(x)=\frac{2}{t}+\frac{1}{2}\sqrt{t},t> 0$
$f'(t)=-\frac{2}{t^{2}}+\frac{1}{4\sqrt{t}}=0\Leftrightarrow t=3$
Dựa vào bảng biến thiên, dễ thấy $f(t)\geq f(3)=\frac{4+3\sqrt{3}}{6}$ với mọi $t> 0$
Vậy $P\geq \frac{4+3\sqrt{3}}{6}.$ Dấu "=" xảy ra khi: $(x,y,z)=(\frac{3}{4},\frac{3}{2},\frac{3}{4})$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
