Chủ đề này có 1 trả lời

[suckadick193]

Cho P(x) thuộc R[x] degP>=1 có m nghiệm Cm Q(x)=(x^2+1)P(x)+P'(x) có ít nhất 1 nghiệm

[Kim Vu]

Cho P(x) thuộc R[x] degP>=1 có m nghiệm Cm Q(x)=(x^2+1)P(x)+P'(x) có ít nhất 1 nghiệm

Xét $H(x)=e^{\frac{x^3}{3}+x}.P(x)$
$H'(x)=e^{\frac{x^3}{3}+x}((x^2+1)P(x)+P'(x))=e^{\frac{x^3}{3}+x}Q(x)$

TH1:$m=1$.

Nếu $P(x)$ bậc lẻ thì $Q(x)$ bậc lẻ nên có ít nhất 1 nghiệm
Nếu $P(x)$ bậc chẵn,$P(x)$ có 1 nghiệm là $a$ thì $\frac{P(x)}{x-a}$ bậc lẻ nên có ít nhất một nghiệm
 suy ra $P(x)$ có ít nhất 2 nghiệm(có thể trùng nhau)(vô lí)
TH2:$m \geq 2$
Do $H(x)$ có m nghiệm ,nếu có ít nhất 2 nghiệm phân biệt theo định lý Rolle $H'(x)$ có ít nhất 1 nghiệm nên $Q(x)$ có ít nhất 1 nghiệm
Nếu $H(x)$ chỉ có nghiệm bội m thì $H'(x)$ có nghiệm bội $m-1$ suy ra $Q(x)$ có ít nhất 1 nghiệm