Chủ đề này có 1 trả lời

[tritanngo99]

Sắp xếp $n$ số $a_1,a_2,...,a_n$ lần lượt thành một vòng tròn, trong đó $(a_1,a_2,...a_n)$ là một hoán vị của $(1;2;...;n)$. Gọi $S$ là tổng các giá trị tuyệt đối của hai số liền kề nhau, tức là: $S=|a_1-a_2|+|a_2-a_3|+...+|a_{n-1}-a_{n}|+|a_n-a_1|$. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất có thể của $S$. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 09-09-2018 - 07:52

[chanhquocnghiem]

Sắp xếp $n$ số $a_1,a_2,...,a_n$ lần lượt thành một vòng tròn, trong đó $(a_1,a_2,...a_n)$ là một hoán vị của $(1;2;...;n)$. Gọi $S$ là tổng các giá trị tuyệt đối của hai số liền kề nhau, tức là: $S=|a_1-a_2|+|a_2-a_3|+...+|a_{n-1}-a_{n}|+|a_n-a_1|$. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất có thể của $S$. 

1) Tìm GTNN của $S$ :

    Giả sử $a_p=1$ ; $a_q=n$

    Đặt $S_1=|a_p-a_{p+1}|+|a_{p+1}-a_{p+2}|+...+|a_{q-1}-a_q|$

           $S_2=|a_q-a_{q+1}|+|a_{q+1}-a_{q+2}|+...+|a_{p-1}-a_p|$

    Ta có $S_1\geqslant |a_p-a_q|=n-1$ ; $S_2\geqslant |a_q-a_p|=n-1$

    $\Rightarrow S=S_1+S_2\geqslant 2n-2$

    Vậy $S_{min}=2n-2$

 

2) Tìm GTLN của $S$ : Có $2$ trường hợp :

   a) $n$ chẵn ($n=2k$) :

       Ta có :

      $S\leqslant |a_1-A|+|A-a_2|+|a_2-A|+|A-a_3|+...+|a_n-A|+|A-a_1|$

       với $A$ là số thực tùy ý.

       Dấu bằng chỉ xảy ra khi :

       $\left\{\begin{matrix}A\leqslant a_1;A\leqslant a_3;A\leqslant a_5;...\\A\geqslant a_2;A\geqslant a_4;A\geqslant a_6;... \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix}A\leqslant a_2;A\leqslant a_4;A\leqslant a_6;...\\A\geqslant a_1;A\geqslant a_3;A\geqslant a_5;... \end{matrix}\right.$

       (có thể chọn $A=k$)

       Khi đó :

       $S=S_{max}=2\left ( |a_1-A|+|a_2-A|+...+|a_n-A| \right )=2\left ( |a_1-a_2|+|a_3-a_4|+...+|a_{2k-1}-a_{2k}| \right )$

           $=2\left | (a_1+a_3+...+a_{2k-1})-(a_2+a_4+...+a_{2k}) \right |=2(T_2-T_1)$

        (với $T_1$ là tổng tất cả các số $a_i$ lớn hơn $A=k$

              $T_2$ là tổng tất cả các số $a_i$ không lớn hơn $A=k$)

        Vậy $S_{max}=2(T_2-T_1)=2k^2=\frac{n^2}{2}$

     b) $n$ lẻ ($n=2k+1$)

         Lời giải tương tự (dành cho bạn nào thích tìm tòi, suy luận)

         Khi đó $S_{max}=\frac{n^2-1}{2}$.