Đến nội dung

Hình ảnh

$S=(C_{n}^{1})^{2}+2.(C_{n}^{2})^{2}+3.(C_{n}^{3})^{2}+...+n.(C_{n}^{n})^{2}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
anhtuan962002

anhtuan962002

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 92 Bài viết

Tính tổng :

$S=(C_{n}^{1})^{2}+2.(C_{n}^{2})^{2}+3.(C_{n}^{3})^{2}+...+n.(C_{n}^{n})^{2}$

Mọi người giúp em làm bài này ạ (Xin đừng dùng đạo hàm, tích phân). Em cảm ơn



#2
dottoantap

dottoantap

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 162 Bài viết

Tính tổng :
$S=(C_{n}^{1})^{2}+2.(C_{n}^{2})^{2}+3.(C_{n}^{3})^{2}+...+n.(C_{n}^{n})^{2}$
Mọi người giúp em làm bài này ạ (Xin đừng dùng đạo hàm, tích phân). Em cảm ơn

Theo hằng đẳng thức Vandermonde, với $m, n, r$ là các số nguyên không âm sao cho $r$ không vượt quá $m$ hoặc $n$ thì:
$C_{m+n}^{r}=\sum_{k=0}^{r}C_{n}^{r-k}C_{n}^{k}$ $(1)$
Khi $r=m=n$ ta có:
$C_{2nn}^{n}=\sum_{k=0}^{n}\left ( C_{n}^{$k} \right )^{ của $($\sum_{k=1}^{n}i:
$(2) \Leftrightarrow C_{2n}^{n} \sum_{k=0}^{n}$\sum_{k=0}^{n}k\left ( C_{n}^{10} \right )

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dottoantap: 15-09-2018 - 18:02

++++++++++++++++++++++++++++

Everything is impossible until you do it.

“Ai không làm gì thì mới không bao giờ sai”. Cứ làm đi, đừng sợ sai, trừ khi cái sai đó là cái sai gây tai hoạ cho người khác.


#3
anhtuan962002

anhtuan962002

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 92 Bài viết

Theo hằng đẳng thức Vandermonde, với $m, n, r$ là các số nguyên không âm sao cho $r$ không vượt quá $m$ hoặc $n$ thì:
$C_{m+n}^{r}=\sum_{k=0}^{r}C_{n}^{r-k}C_{n}^{k}$ $(1)$
Khi $r=m=n$ ta có:
$C_{2nn}^{n}=\sum_{k=0}^{n}\left ( C_{n}^{$k} \right )^{ của $($\sum_{k=1}^{n}i:
$(2) \Leftrightarrow C_{2n}^{n} \sum_{k=0}^{n}$\sum_{k=0}^{n}k\left ( C_{n}^{10} \right )

anh giúp em viết lại công thức bài này với ạ. Em nhìn không hiểu.

Em cảm ơn



#4
dottoantap

dottoantap

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 162 Bài viết

anh giúp em viết lại công thức bài này với ạ. Em nhìn không hiểu.
Em cảm ơn

Ta có:
$S=\sum_{k=0}^{n}k\left ( C_{n}^{k} \right )^{2}=0\left ( C_{n}^{0} \right )^{2}+1\left ( C_{n}^{1} \right )^{2}+2\left ( C_{n}^{2} \right )^{2}+....+n\left ( C_{n}^{n} \right )^{2}$ $(1)$
Lý luận như sau:
Tính số cách lập Hội đồng khoa học có $n$ thành viên là các giáo sư được chọn từ $n$ giáo sư toán và $n$ giáo sư khoa học máy tính và chủ tịch hội đồng là giáo sư toán.
Ứng với mỗi $k$:
Số cách chọn $k$ gsư toán:$ C(n,k)$
Số cách chọn chủ tịch: $k$
Số cách chọn $n-k$ gsư khoa học máy tính: $C(n,n-k)=C(n,k)$
Do đó, số cách lập hội đồng là $(1)$.
Mặt khác, ta cũng có lập luận:
Số cách chọn chủ tịch: $n$
Số cách chọn các thành viên còn lại: $C(2n-1,n-1)$
Do đó, số cách lập hội đồng là $nC(2n-1,n-1)$
Từ 2 cách lập luận trên, ta có:
$S=nC(2n-1,n-1)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dottoantap: 30-09-2018 - 22:27

++++++++++++++++++++++++++++

Everything is impossible until you do it.

“Ai không làm gì thì mới không bao giờ sai”. Cứ làm đi, đừng sợ sai, trừ khi cái sai đó là cái sai gây tai hoạ cho người khác.


#5
dottoantap

dottoantap

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 162 Bài viết

hoặc:

Theo tính chất hấp thụ:

$kC_{n}^{k}=nC_{n-1}^{k-1}$

$ \Rightarrow S=\sum k\left ( C_{n}^{k} \right )^{2}=\sum nC_{n-1}^{k-1}C_{n}^{k}=n\sum C_{n-1}^{k-1}C_{n}^{n-k}=nC_{2n-1}^{n-1}=\frac{n}{2}C_{2n}^{n}$  (Vandermonde)


++++++++++++++++++++++++++++

Everything is impossible until you do it.

“Ai không làm gì thì mới không bao giờ sai”. Cứ làm đi, đừng sợ sai, trừ khi cái sai đó là cái sai gây tai hoạ cho người khác.





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh