Đến nội dung


Hình ảnh

Đề thi chọn HSG tỉnh Ninh Bình 2018-2019


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 17 trả lời

#1 Hr MiSu

Hr MiSu

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 206 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi cuối của đường chân trời!
  • Sở thích:Ngắm những gì đẹp nhất, bao gồm cả cô ấy!

Đã gửi 11-09-2018 - 12:31

Ngày 1 (11/09/2018)   Thời gian: $180$ phút

Đề bài:

Câu 1: Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} (x-y)(x^2+xy+y^2-2)=2ln\frac{y+\sqrt{y^2+1}}{x+\sqrt{x^2+1}}\\ 3^x.2x=3^y+2y+1 \end{matrix}\right.$

Câu 2: Xét sự hội tụ của dãy số $(x_n)$ biết $x_0=2, x_{n+1}=\frac{2}{x_n}+\frac{\sqrt{3}}{x_n^2}$

Câu 3: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O$. Dựng ra phía ngoài tam giác $ABC$ các hình bình hành $ABMN$ và $ACPQ$ sao cho tam giác $ABN$ đồng dạng với tam giác $CAP$. Gọi $G$ là giao điểm của $AQ$ và $BM$, $H$ là giao điểm của $AN$ và $CP$. Đường tròn ngoại tiếp các tam giác $GMQ, HNP$ cắt nhau tại $E$ và $F$ ($E$ nằm trong đường tròn $(O)$).

          a) Chứng minh rằng ba điểm $A,E,F$ thẳng hàng.

          b) Chứng minh rằng bốn điểm $B,C,O,E$ cùng thuộc một đường tròn.

Câu 4: Bạn Thanh viết lên bảng các số $1,2,3,...,2019$. Mỗi một bước Thanh xóa 2 số $a$ và $b$ bất kì trên bảng và viết thêm số $\frac{ab}{a+b+1}$. Chứng minh rằng dù xóa như thế nào thì sau khi thực hiện $2018$ bước trên bảng luôn còn lại số $\frac{1}{2019}$.

P/s: Đề tỉnh mình dễ quá, mà mình vẫn còn ý $b$ bài hình, huhu

Ngày 2 (12/09/2018) Thời gian $180$ phút

Đề bài:

Câu 1: Cho đa thức $P(x)$ có hệ số nguyên và $a,b,c$ là các số nguyên thỏa mãn $P(a)=1,P(b)=2,P(c)=3$. Chứng minh rằng: $a+c=2b$.

Câu 2: Cho ba số thực dương $a,b,c$. Chứng minh bất đẳng thức: $(\sum a)(\sum \frac{1}{a})+4\sqrt{2}.\frac{\sum ab}{\sum a^2}\geq9+4\sqrt{2}$

Câu 3: Cho tứ giác lồi $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$, đường tròn tâm $I$ tiếp xúc với các tia $AB,AD$ lần lượt tại $E$ và $F$, đồng thời tiếp xúc trong với đường tròn $(O)$ tại điểm $T$. Hai tiếp tuyến tại $A$ và $T$ của đường tròn $(O)$ cắt nhau tại $K$. Các đường thẳng $TE, TF$ lần lượt cắt đường tròn $(O)$ thứ tự tại các điểm $M,N$ $( M,N$ khác $T).$

         a) Chứng minh rằng ba điểm $K,M,N$ thẳng hàng.

         b) Đường phân giác góc $BAC$ cắt đường thẳng $MC$ tại $P$, đường thẳng $KP$ cắt đường thẳng $CN$ tại $Q$. Chứng minh rằng: Nếu $N$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADQ$ thì bán kính đường tròn nội tiếp các tam giác $ABC$ và $ACD$ bằng nhau.

Câu 4: Với số $n$ nguyên dương đặt $f(n)$ là số ước nguyên dương của $n$. Xét tập hợp $G=\left \{ n\in \mathbb{N}^*: f(m)<f(n), \forall m\in \mathbb{N},0<m<n \right \}$ và goij $p_i$ là số nguyên tố thứ $i$ $(i\in \mathbb{N}^*)$.

        a) Chứng minh rằng: Nếu $n$ thuộc $G$ và $p_m$ là ước nguyên tố của $n$ thì $(p_1p_2...p_m)$ là ước của $n$.

        b) Với số nguyên tố $p_m$, gọi k, M là các số nguyên dương thỏa mãn $2^k>p_m$ và $M=(p_1p_2...p_{m-1})^{2k}$. Chứng minh rằng: Nếu $n>M$ và $n$ thuộc $G$ thì $n$ chia hết cho $p_m$.

P/s; Vẫn là ý b bài hình ko làm hết


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 04-01-2019 - 01:15

s2_PADY_s2

Hope is a good thing, maybe the best thing, and no good thing ever dies


#2 BurakkuYokuro11

BurakkuYokuro11

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 230 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K47 THPT Chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:$\boxed{Air Conditioner}$

Đã gửi 11-09-2018 - 19:27

Câu Tổ hợp : Nhận thấy : 

Số thay thế $z=\frac{1}{(\frac{1}{x}+1)(\frac{1}{y}+1)-1}$

Nên số cuối cùng còn lại chính là

$A= \frac{1}{(\frac{1}{1}+1)(\frac{1}{2}+1)...(\frac{1}{2018}+1)} = \frac{1}{2019}$


WangtaX

 


#3 Hr MiSu

Hr MiSu

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 206 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi cuối của đường chân trời!
  • Sở thích:Ngắm những gì đẹp nhất, bao gồm cả cô ấy!

Đã gửi 12-09-2018 - 22:17

Cho em hỏi câu 1 ngày 2 làm thế nào vậy ạ?

Dùng bổ đề $P(x)-P(y)\vdots x-y$

áp dụng: $1\vdots b-a, 1\vdots c-b$


s2_PADY_s2

Hope is a good thing, maybe the best thing, and no good thing ever dies


#4 Hr MiSu

Hr MiSu

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 206 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi cuối của đường chân trời!
  • Sở thích:Ngắm những gì đẹp nhất, bao gồm cả cô ấy!

Đã gửi 12-09-2018 - 22:20

Kì lạ nhỉ ? $P(x)=x$ thì $(a,b,c)=(1,2,3)$ nhưng làm gì thoả mãn ?

Mình sửa đề rồi, xin lỗi nha đánh vội qá


s2_PADY_s2

Hope is a good thing, maybe the best thing, and no good thing ever dies


#5 Kim Vu

Kim Vu

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 212 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:

Đã gửi 12-09-2018 - 22:49

Câu 4 a: Ta cm n chia hết cho pi;i=1,...,m
Giả sử VPm(n)=a
Xét số $q=n.\frac{p_{i}^{a} }{p_{m}^{a}}<n , i \in{1,2,...,m-1}$ mà $f(q)=f(n)$ nên suy ra điều mâu thuẫn
Vậy n chia hết cho pi;i=1,...,m nên n chia hết cho p1...pm

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kim Vu: 12-09-2018 - 23:48


#6 Hr MiSu

Hr MiSu

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 206 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi cuối của đường chân trời!
  • Sở thích:Ngắm những gì đẹp nhất, bao gồm cả cô ấy!

Đã gửi 12-09-2018 - 23:02

bạn xem thử cách của mình đúng ko nhé:

Bổ đề: Nếu $n\in G$, $p_s$ là ước nguyên tố lớn nhất của $n$, thế thì $p_1,p_2,...,p_s$ là ước nguyên tố của $n$

Chứng minh: Đặt $n=\prod_{i=1}^{s}p_i^{s_i}, s_i\geq 0 \forall i=1,2,...,s-1;s_s\geq 1$

Giả sử tồn tại $0<j<s$ sao cho $p_j$ không là ước của $n$ thế thì $s_j=0$

Xét số $n'=\prod_{i=1}^{s}p_i^{s_i}.p_s^{-1}.p_j$ dễ thấy $P(n')\geq P(n)$ mà $n>n'$ suy ra vô lý

a) dễ thấy từ bổ đề

b) Giả sử phản chứng, thế thì theo bổ đề n chỉ có các ước là $p_1,p_2,...,p_{m-1}$. Tồn tại chỉ số $h$ sao cho $s_h\geq 2k$, xét số $n=(\prod_{i=1}^{m-1}p_i^{s_i}).p_h^{-k}.p_h^{k}\geq (\prod_{i=1}^{m-1}p_i^{s_i}).p_h^{-k}.2^{k}>(\prod_{i=1}^{m-1}p_i^{s_i}).p_h^{-k}.p_m=n''$ kèm theo điều kiện $s_h\geq 2k$ dễ suy ra $P(n'')>P(n)$ vô lý

(câu 2 xét mỗi t/h =2 chả biết đc điểm nào ko)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hr MiSu: 12-09-2018 - 23:06

s2_PADY_s2

Hope is a good thing, maybe the best thing, and no good thing ever dies


#7 Kim Vu

Kim Vu

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 212 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:

Đã gửi 12-09-2018 - 23:06

Câu 2. Phân tích bình phương S.O.S
$(a-b)^2(\frac{1}{ab}-\frac{2\sqrt{2}}{a^2+b^2+c^2})+(b-c)^2(\frac{1}{bc}-\frac{2\sqrt{2}}{a^2+b^2+c^2})+(c-a)^2(\frac{1}{ca}-\frac{2\sqrt{2}}{a^2+b^2+c^2}) \geq 0$
Đặt $\frac{1}{ab}-\frac{2\sqrt{2}}{a^2+b^2+c^2}=S_{c};\frac{1}{bc}-\frac{2\sqrt{2}}{a^2+b^2+c^2}=S_{a};\frac{1}{ca}-\frac{2\sqrt{2}}{a^2+b^2+c^2}=S_{b}$
Giả sử $a \geq b \geq c \Leftrightarrow  S_{a} \geq S_{b} \geq S_{c}$ 
Ta sẽ chứng minh  $S_{b} + S_{c} \geq 0$
Ta có $S_{b} + S_{c}=\frac{1}{ac}+\frac{1}{ab}-\frac{4\sqrt{2}}{a^2+b^2+c^2} \geq \frac{4}{ac+ab}-\frac{4\sqrt{2}}{a^2+b^2+c^2}$
Lại có $a^2+b^2+c^2 \geq \frac{(a+b)^2}{2}+c^2 \geq \sqrt{2}(ac+ab)$ nên ta có ĐPCM
$S_{a} \geq S_{b} \geq S_{c}$ và $S_{b} + S_{c} \geq 0$ nên theo tiêu chuẩn phân tích bình phương S.O.S ta có ĐPCM
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c



#8 Kim Vu

Kim Vu

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 212 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:

Đã gửi 12-09-2018 - 23:36

Câu hình ngày 2
a) $AT$ cắt $(I)$ tại $L$
Dễ thấy tứ giác $TELF$ điều hòa
Mặt khác phép vị tự tâm $T$,tỉ số $TO/TI$ biến $(I)$ thành $(O)$,$E->M$ $F -> N$,$L -> A$
nên tứ giác $AMTN$ điều hòa 
Từ đó ta có ĐPCM
b) Dễ cm $P,Q$ là tâm nội tiếp tam giác $ABC$ và $ACD$
$AC$ cắt $PQ$ tại $X$
$PU,QV$ vuông góc với $AC$
r(ABC)=r(ACD) nếu $PU=QV$
Tương đương với $X$ là trung điểm $PQ$
Đoạn còn lại dùng định lý Menelaus trong tam giác $CMN$ cát tuyến $KPQ$ kết hợp với định lý sin trong tam giác $CXP,CXQ$   sẽ có ĐPCM


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kim Vu: 12-09-2018 - 23:49


#9 melodias2002

melodias2002

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Sao Hoả

Đã gửi 13-09-2018 - 00:51

Câu 2. Phân tích bình phương S.O.S
$(a-b)^2(\frac{1}{ab}-\frac{2\sqrt{2}}{a^2+b^2+c^2})+(b-c)^2(\frac{1}{bc}-\frac{2\sqrt{2}}{a^2+b^2+c^2})+(c-a)^2(\frac{1}{ca}-\frac{2\sqrt{2}}{a^2+b^2+c^2}) \geq 0$
Đặt $\frac{1}{ab}-\frac{2\sqrt{2}}{a^2+b^2+c^2}=S_{c};\frac{1}{bc}-\frac{2\sqrt{2}}{a^2+b^2+c^2}=S_{a};\frac{1}{ca}-\frac{2\sqrt{2}}{a^2+b^2+c^2}=S_{b}$
Giả sử $a \geq b \geq c \Leftrightarrow  S_{a} \geq S_{b} \geq S_{c}$ 
Ta sẽ chứng minh  $S_{b} + S_{c} \geq 0$
Ta có $S_{b} + S_{c}=\frac{1}{ac}+\frac{1}{ab}-\frac{4\sqrt{2}}{a^2+b^2+c^2} \geq \frac{4}{ac+ab}-\frac{4\sqrt{2}}{a^2+b^2+c^2}$
Lại có $a^2+b^2+c^2 \geq \frac{(a+b)^2}{2}+c^2 \geq \sqrt{2}(ac+ab)$ nên ta có ĐPCM
$S_{a} \geq S_{b} \geq S_{c}$ và $S_{b} + S_{c} \geq 0$ nên theo tiêu chuẩn phân tích bình phương S.O.S ta có ĐPCM
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c

Tiêu chuẩn này cần phải có thêm $S_b \geq 0$ nữa chứ anh?



#10 Kim Vu

Kim Vu

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 212 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:

Đã gửi 13-09-2018 - 12:42

Tiêu chuẩn này cần phải có thêm $S_b \geq 0$ nữa chứ anh?

Đây là tiêu chuẩn mở rộng
Nếu thích thì có thể suy ra S$\geq 0$ từ 2Sb$\geq$ Sb+Sc



#11 Uchiha sisui

Uchiha sisui

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 196 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 16-09-2018 - 22:00

41620952_2184024598587989_72736328149211

 

Vô tình thấy bài BĐT trong sách 

Bài này là kĩ thuật bổ đề chặn tích của ông Cẩn!



#12 viethoang2002

viethoang2002

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 29 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:LÊ KHIẾT QUẢNG NGÃI
  • Sở thích:hình học

Đã gửi 17-09-2018 - 18:59

Cho em hỏi câu 1 ngày 1 giải ra x=y thế vô pt 2 sao giải nữa ạ

#13 Hr MiSu

Hr MiSu

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 206 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi cuối của đường chân trời!
  • Sở thích:Ngắm những gì đẹp nhất, bao gồm cả cô ấy!

Đã gửi 17-09-2018 - 19:44

Cho em hỏi câu 1 ngày 1 giải ra x=y thế vô pt 2 sao giải nữa ạ

Em đánh giá $x<-1$ ko có nghiệm

Xét hàm $f(x)=3^x.2x-3^x-2x-1$ trên $[-1;+\infty )$, tính đạo hàm cấp 2 và đánh giá đạo hàm cấp 2 luôn lớn hơn 0, do đó pt có tối đa 2 nghiệm, mà $x=-1,x=1$ thỏa nên đó là 2 ng của pt


s2_PADY_s2

Hope is a good thing, maybe the best thing, and no good thing ever dies


#14 Hr MiSu

Hr MiSu

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 206 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi cuối của đường chân trời!
  • Sở thích:Ngắm những gì đẹp nhất, bao gồm cả cô ấy!

Đã gửi 18-09-2018 - 11:49

Ai có lời giải bài dãy chưa nhỉ?

Dễ có $x_n>0$ mọi n, $x_2>x_0$,$x_3<x_1$,, mà $x_{n+1}=f(x_n)$, $f(x)$ giảm trên $(0;+\infty)$ nên dãy chẵn tăng, dãy lẻ giảm,

Giả sử hội tụ thì $a=b$, $a$ là lim dãy tăng >2, $b$ là lim dãy giảm <2 . vô lý


s2_PADY_s2

Hope is a good thing, maybe the best thing, and no good thing ever dies


#15 hoangkimca2k2

hoangkimca2k2

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 468 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp
  • Sở thích:...

Đã gửi 20-10-2018 - 20:38

Bạn vẽ hình Bài 3 ngày 1 thế nào vậy...sao mk vẽ thấy A, Q, B thẳng hàng..vậy sao BM cắt AQ ??

 

Tam giác ABN đồng dạng tam giác CAP :v


  N.D.P 

#16 Serinkain

Serinkain

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 4 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 07-12-2018 - 22:45

Câu hình ngày 2:
a) Ta thấy M, N là trung điểm cung AB, AC và EF//MN. (MA^2)/(NA^2)=(ME.MT)/(NF.NT)=(MT^2)/(NT^2) nên MA/NA=MT/NT=> AMTN điều hòa nên M,N,K thẳng hàng.
b) P, Q là tâm nội tiếp ∆ABC,∆ADC. Theo Menelaus: (KM/KN).(NQ/QC).(CP/PM)=1<=> (AM^2/AN^2).(NQ/QC).(CP/PM)=1<=> QC.QN=PM.PC<=> R^2-OQ^2=R^2-OP^2<=> 2Rr(ABC)=2Rr(ADC) ( hệ thức Euler) <=> r(ABC)=r(ADC).

#17 halloffame

halloffame

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 522 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:LQĐ
  • Sở thích:Hình học phẳng

Đã gửi 04-01-2019 - 03:51

Bài hình ngày 1:

$a)$ 

$\frac{AB}{\sin \widehat{AGB}}= \frac{AG}{\sin \widehat{ABG}}= \frac{AG}{\sin \widehat{BAN}}; \frac{AC}{\sin \widehat{AHC}}= \frac{AH}{\sin \widehat{ACH}}= \frac{AH}{\sin \widehat{BAN}}.$

Lại có $\widehat{AGB}= \widehat{GAN}= \widehat{QAH}= \widehat{AHC} \Rightarrow \frac{AG}{AH}= \frac{AB}{AC}= \frac{AN}{AQ}$

$\Rightarrow AQ.AG=AN.AH \Rightarrow A \in FE$ là trục đẳng phương của $(GMQ),(HNP).$

Ta có đpcm.

$b)$

$\widehat{MEQ}=180^0- \widehat{MGQ}=180^0- \widehat{NHP}= \widehat{NEP} \Rightarrow \widehat{MEN}= \widehat{QEP}.$

Gọi $MN$ cắt $PQ$ tại $F_1$ thì $\widehat{F_1}= \widehat{BAC}= 360^0- \widehat{NAB}- \widehat{QAC}- \widehat{NAQ}=360^0- \widehat{ACP}- \widehat{QAC}-180^0+ \widehat{QAH}= \widehat{AHC}= \widehat{AGB}$

$\Rightarrow F_1 \in (MEQ) \cap (NEH) \Rightarrow F_1 \equiv F \Rightarrow \widehat{NME}=180^0- \widehat{F}= \widehat{EPQ} \Rightarrow \Delta  EMN \sim \Delta EQP.$

Do đó tồn tại một phép vị tự quay $X$ tâm $E$ sao cho $X(M)=Q,X(N)=P.$ Lại có hai hình bình hành $ABMN,CAQP$ đồng dạng nhau nên

$X(B)=A,X(A)=C \Rightarrow \Delta EBA \sim \Delta EAC \Rightarrow \widehat{BEC}= \widehat{BAC}+ \widehat{ABE}+ \widehat{ACE} = \widehat{BAC}+ \widehat{BAE}+ \widehat{EAC}=2 \widehat{BAC}= \widehat{BOC}$

$\Rightarrow O,B,E,C$ đồng viên. Ta có đpcm.


Sự học như con thuyền ngược dòng nước, không tiến ắt phải lùi.


#18 lifeandgo

lifeandgo

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 3 Bài viết

Đã gửi 06-05-2019 - 12:12

Đề thi phù hợp 






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh