Đến nội dung


Hình ảnh

giới hạn của dãy $(a_n)$

giới hạn dãy số

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Khoa Linh

Khoa Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 601 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khóa 36, THPT chuyên Hùng Vương, Phú Thọ
  • Sở thích:geometry, inequality

Đã gửi 12-09-2018 - 22:33

Cho dãy số $(a_n)$ có $a_1,a_2>0$ và $a_{n+2}=\dfrac{2}{a_{n+1}+a_n}$. Tính giới hạn của dãy $(a_n)$


$\sqrt[LOVE]{MATH}$

"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I

 

do mathematics to keep happy" - Alfréd nyi 


#2 Sugar

Sugar

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 20 Bài viết

Đã gửi 07-07-2019 - 17:19

Đầu tiên, ta sẽ chứng minh $(a_n)$ là dãy bị chặn. Ta có, nếu $\frac{1}{A}\leq a_n,a_{n+1}\leq A$ thì $\frac{1}{A}\leq\frac{2}{a_n+a_{n+1}}\leq A$ hay $\frac{1}{A}\leq a_{n+2}\leq A$. Bằng qui nạp, ta có điều phải chứng minh.

Gọi $l,L$ lần lượt là các giới hạn của $(a_n)$. Khi đó, với mọi $\varepsilon>0$, tồn tại $x_1,x_2\in\mathbb{N}$ sao cho $a_n<L+\varepsilon$ với mọi $n>x_1$ và $a_n>l-\varepsilon$ với mọi $n>x_2$. Lúc này, $a_{n+2}=\frac{2}{a_{n+1}+a_n} > \frac{1}{L+ \varepsilon}$ với mọi $n>x_1$. Với $\varepsilon$ đủ nhỏ thì ta có $l\geq\frac{1}{L}$. Tương tự, ta cũng có $L\leq\frac{1}{l}$. Vì vậy, $l\cdot L=1$.

Theo định lý Bolzano-Weierstrass, tồn tại dãy $(x_k)$ các số nguyên dương sao cho $\lim_{k \rightarrow \infty} a_{x_k +2}=L$. Ta có thể chọn sao cho $\{a_{x_k +1}\},\ \{a_{x_k}\},$ and $\{a_{x_k -1}\}$ hội tụ tại $l_1,l_2,l_3$.

Ta có được $l_1 +l_2=\frac{2}{L}=2l$ và $l_2 +l_3=\frac{2}{l_1}$. Vì $l \le l_1,\ l_2,\ l_3 \le L$ nên $l_1=l_2=l$ and $l_2 =l_3 = L$. Do đó ta có $l=L$. Vì vậy $(a_n)$ hội tụ tại $1$.







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: giới hạn, dãy số

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh