Đến nội dung

Hình ảnh

ĐỀ THI CHỌN HSGQG TỈNH QUẢNG NGÃI

thi hsgqg

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1
taconghoang

taconghoang

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 130 Bài viết

Bài 1 : Cho $a$ là một số tự nhiên và $(u_{n})$ là dãy được xác định bởi :

    $u_{1}=u_{2}=1, u_{n+2}=14 \, u_{n+1}-u_{n}-a$ với mọi $n \geq 1$.

Tìm $a$ để tất cả các số hạng của dãy $(u_{n})$ đều là số chính phương.

 

Bài 2. Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn điều kiện : 

 

$ f(xy-1) + f(x)f(y) = 2xy - 1 $ với mọi $x,y \in \mathbb{R}$.

 

Bài 3 Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp $(O)$ cố định, hai điểm $B,C$ thay đổi trên đường tròn đó. Gọi $BE,CF$ là các đường cao của tam giác $ABC$. Trên đường thằng $EF$ lấy các điểm $M,N$ sao cho $\angle MBC = \angle NCB = 90^{\circ}$. Gọi $I$ là trung điểm $BC$, vẽ $MI$ cắt $AC$ tại $P$, $NI$ cắt $AB$ tại $Q$.

 

a) Chứng minh rằng các đường thẳng $BP,CQ$ cắt nhau tại một điểm thuộc đường tròn $(O)$.

 

b) Đường thẳng qua $A$ vuông góc với $MP$ cắt đường tròn $(O)$ tại $X$; đường thẳng qua $A$ vuông góc với $NQ$ cắt đường tròn $(O)$ tại $Y (X,Y\neq A)$. Các tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại $X,Y$ cắt nhau tại $T$. Chứng minh rằng đường thẳng qua $T$ và vuông góc với $BC$ luôn đi qua một điểm cố định khi $B,C$ thay đổi trên $(O)$.

 

Bài 4. Cho các số dương $a,b,c$ thoả mãn $abc=1$. Chứng minh rằng :

$$ \dfrac{a^3+5}{a^3(b+c)}+\dfrac{b^3+5}{b^3(c+a)}+\dfrac{c^3+5}{c^3(a+b)}\geq 9 $$

 

Bài 5

 

a) Cho $p>3$ là một số nguyên tố, chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ thì ba số $p+2, \, 2^n+p$ và $2^n+p+2$ không thể đều là số nguyên tố.

 

b)Tìm số tự nhiên $n$ để tồn tại số nguyên tố $p$ sao cho cả ba số $p+2, \, 2^n+p$ và $2^n+p+2$ đều là số nguyên tố.

 

Bài 6

 

Cho tam giác nhọn $ABC$ không cân nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$, $M$ là trung điểm $AB$. Trên cung $AB$ của đường tròn $(O)$ không chứa $C$ lấy các điểm $P,Q$ sao cho $\angle ACP=\angle BCQ < \angle ACQ$. Gọi $R,S$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $H$ lên $CQ,CP$.

 

a) Chứng minh rằng bốn điểm $P,Q,R,S$ cùng nằm trên một đường tròn và $M$ là tâm của đường tròn đó.

 

b) Vẽ $OD$ cắt $BE$ tại $K$, $OE$ cắt $AD$ tại $L$. Chứng minh rằng $K,L,M$ thằng hàng khi và chỉ khi $OH$ song song với $DE$.

 

Bài 7

 

Từ các số $1,2,3,4,5$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có $n$ chữ số $(n$ nguyên dương $)$ mà trong mỗi số đó chứa một số lẻ chữ số $1$ và một số chẵn chữ số $2$ ?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi taconghoang: 21-09-2018 - 19:57


#2
Duy Thai2002

Duy Thai2002

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 433 Bài viết

Kí hiệu $P(m,n)$ là thay $x$ bởi  $m$, $y$ bởi $n$ trong phương trình hàm đề bài.

$P(0,0)$ $f(-1)+(f(0))^{2}=-1$

$P(0,-1)$ $=> f(-1)+f(0)f(-1)=-1$

$=> f(0)(f(0)-f(-1))=0$ 

$<=> \begin{bmatrix}f(0)=0 & \\ f(0)=f(-1) & \end{bmatrix}$

Nếu $f(0)=f(-1)$ thì theo như trên suy ra được:

$f(0)^{2}+f(0)=-1$. Rõ ràng phương trình này vô nghiệm trên $\mathbb{R}$ nên loại TH này

$=> f(0)=0$. Theo $P(0,0)$ $=> f(-1)=-1$

$P(1,1)$ $=> (f(1))^{2}=1$

$<=> \begin{bmatrix}f(1)=1 & \\ f(1)=-1 & \end{bmatrix}$

Nếu $f(1)=1$ 

$P(x,1)$  

$=> f(x)+f(x-1)=2x-1$  (1)

Trong $(1)$ thay $x$ bởi $xy$:

$f(xy-1)+f(xy)=2xy-1$. 

$=> f(xy)=f(x)f(y)$

Trong (1), thay $x$ bởi $x^{2}+2x+1$:

$f(x^{2}+2x+1)+f(x^{2}+2x)=2x^{2}+4x+1$

$<=> f(x)f(x+2)+(f(x+1))^{2}=2x^{2}+4x+1$

Đặt $f(x+2)=a,f(x+1)=b,f(x)=c$

Ta có:

$\left\{\begin{matrix}a+b=2x+3 & & \\b+c=2x+1 & & \\ac+b^{2}=2x^{2}+4x+1 & & \end{matrix}\right.$( dễ dàng suy ra bằng việc thay đổi  giá trị $x$ trong (1))

$=> \left\{\begin{matrix}a=c+2 & & \\b=2x+1-c & & \\ac+b^{2}=2x^{2}+4x+1 & & \end{matrix}\right.$

$=> c(c+2)+(2x+1-c)^{2}=2x^{2}+4x+1$

Sau khi khai triển và thu gọn phương trình trên, ta được:

$2(c-x)^{2}=0$

$<=> c=x$

$<=> f(x)=x$ $\forall x\in \mathbb{R}$ . Thử lại thấy thỏa nên nhận hàm.

Nếu $f(1)=-1$

$P(x,1)$  

$=> f(x-1)-f(x) =2x-1$(2)

 Trong $(2)$ thay $x$ bởi $xy$:

$f(xy-1)+f(xy)=2xy-1$.

$=> f(xy)=-f(x)f(y)$

Trong (2), thay $x$ bởi $x^{2}+2x+1$:

$-f(x^{2}+2x+1)+f(x^{2}+2x)=2x^{2}+4x+1$

$<=>- f(x)f(x+2)+(f(x+1))^{2}=2x^{2}+4x+1$

Đặt $f(x+2)=a,f(x+1)=b,f(x)=c$

Ta có:

$\left\{\begin{matrix}b-a=2x+3 & & \\c-b=2x+1 & & \\b^{2}-ac=2x^{2}+4x+1 & & \end{matrix}\right.$( dễ dàng suy ra bằng việc thay đổi  giá trị $x$ trong (2))

$=> \left\{\begin{matrix}a=c-4x-4 & & \\b=c-2x-1& & \\b^{2}-ac=2x^{2}+4x+1 & & \end{matrix}\right.$

$=> (c-2x-1)^{2}-c(c-4x-4)=2x^{2}+4x+1$

Sau khi khai triển và thu gọn phương trình trên, ta được:

$2c=-2x^{2}$

$<=> c=-x^{2}$ $<=> f(x)=-x^{2}$ $\forall x\in \mathbb{R}$. 

Thử lại thấy thỏa nên nhận hàm trên.

Vậy $f(x)=x$, $f(x)=-x^{2}$ $\forall x\in \mathbb{R}$. 


Sự khác biệt giữa thiên tài và kẻ ngu dốt là ở chỗ thiên tài luôn có giới hạn.


#3
Hr MiSu

Hr MiSu

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 206 Bài viết

Bài 1 : Cho $a$ là một số tự nhiên và $(u_{n})$ là dãy được xác định bởi :

    $u_{1}=u_{2}=1, u_{n+2}=14 \, u_{n+1}-u_{n}-a$ với mọi $n \geq 1$.

Tìm $a$ để tất cả các số hạng của dãy $(u_{n})$ đều là số chính phương.

Giải tóm tắt:

$u_3=13-a$, vậy $a=12,a=9,a=4$

$a=9$ thì $a_4=46$ ko là scp

$a=12$ thì dãy hằng $=1$ là scp thỏa mãn

$a=4$: bài toán quen thuộc cũng t/m

vậy $a=4;12$


s2_PADY_s2

Hope is a good thing, maybe the best thing, and no good thing ever dies


#4
Hr MiSu

Hr MiSu

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 206 Bài viết

Đổi: $(a;b;c)=(\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z})$ thì $xyz=1$

$\sum (\frac{a^3+5}{a^3(b+c)})=\sum \frac{1}{b+c}+5\sum \frac{1}{a^3(b+c)}=\sum \frac{xy}{x+y}+5\sum \frac{x^2}{x+y}\geq\sum \frac{xy}{x+y}+5\sum \frac{x}{2}=\sum (\frac{xy}{x+y}+\frac{x+y}{4})+2\sum x\geq 9$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zz Isaac Newton Zz: 20-09-2018 - 23:46

s2_PADY_s2

Hope is a good thing, maybe the best thing, and no good thing ever dies


#5
Hr MiSu

Hr MiSu

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 206 Bài viết

Bài 7

 

Từ các số $1,2,3,4,5$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có $n$ chữ số $(n$ nguyên dương $)$ mà trong mỗi số đó chứa một số lẻ chữ số $1$ và một số chẵn chữ số $2$ ?

Gọi theo $n$ các dạng số như sau: $1$ lẻ $2$ chẵn: $a_n$, $1$ chẵn $2$ lẻ: $b_n$, $1$ lẻ $2$ lẻ: $c_n$, $1$ chẵn $2$ chẵn: $d_n$.

Thiết lập $a_{n+1}=3a_n+c_n+d_n$  $(1)$, $b_{n+1}=3b_n+c_n+d_n$  $(2)$,$c_{n+1}=3c_n+a_n+b_n$  $(3)$ ,$d_{n+1}=3d_n+a_n+b_n$  $(4)$,

Từ $(1)$ thế $n$ bởi $n+1$ ta được $a_{n+2}=3a_{n+1}+c_{n+1}+d_{n+1}=3a_{n+1}+2(a_n+b_n)+3(c_n+d_n)$ (sử dụng $(3),(4)$)

Lại sử dụng $(1)$ vào cái trên : $a_{n+2}=3a_{n+1}+2(a_n+b_n)+3(a_{n+1}-3a_n)$ $(5)$

Trừ $(2)$ cho $(1)$ : $b_{n+1}=3b_n-a_{n+1}+3a_n$, $(6)$

Từ $(5)$ cho $n$ bởi $n+1$, rồi thế $(6)$ vào, và trừ đi lượng thích hợp với $5$ ta có hệ thức truy hồi 


s2_PADY_s2

Hope is a good thing, maybe the best thing, and no good thing ever dies


#6
taconghoang

taconghoang

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 130 Bài viết

Cách khác cho bài 4 :

$\sum \frac{a^3+5}{a^3(b+c)}=\sum \frac{1}{b+c} + 5\sum \frac{b^2c^2}{a(b+c)}\geq \frac{9}{2(a+b+c)} + \frac{5(ab+bc+ca)}{2} = \frac{27}{2.3abc(a+b+c)} + \frac{5(ab+bc+ca)}{2} \geq \frac{27}{2(\sum ab)^2} + \frac{\sum ab}{2} + \frac{\sum ab}{2} + \frac{3(\sum ab)}{2}\geq \frac{9}{2}+\frac{9}{2}=9$.



#7
quantv2006

quantv2006

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 162 Bài viết

Bác taconghoang, Câu hình 6b: D, E ở đâu ạ?



#8
taconghoang

taconghoang

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 130 Bài viết

Bác taconghoang, Câu hình 6b: D, E ở đâu ạ?

Dạ D E bất kì ạ



#9
nguyenhaan2209

nguyenhaan2209

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 103 Bài viết

Bài $3$:

$a)$ Ta có $BIN=CIN=CGN$ nên $BIQ$~$CGE$ -> $QBC ~ CEF$ (đồng dạng trung tuyến) -> $QCB=CFE=CBE$ -> $CQ$ vg $AC$

CMTT thì $BP$ vg $AB$ nên $BP, CQ$ cắt nhau tại $(O)$
$b)$ Chú ý $OI//MN//BC$ mà $I$ là tđ $BC$ nên theo bổ đề hình thang thì $OI$ đi qua tđ $MN$.
Lấy $H$ sao cho $IH//MN$ thì $IH$ vg $AO$ (EF vg AO) nên $I(MNOH)=-1$ mà $AX,AY,AG,AA'$ lần lượt vg với $IM,IN,IO,IH$ nên $A(XYGA')=-1$ hay $(XYGA')$ là tg điều hòa hay $GA'$ đi qua $J$ mà $GA'$ vg $BC$ nên đgt qua $J$ vg $BC$ đi qua $A'$ cố định
Bài $5$:
$a)$ Xét $p$ mod $3$ nếu $p \equiv 1 (mod 3)$ thì $p+2$ là hợp số còn $p \equiv 2 (mod 3)$ thì $2^n+p$ hoặc $2^n+p+2$ chia hết cho $3$ và là hợp số
$b)$ Theo cm ở câu $a$ dễ thấy $p=3$, khi đó ta cần tìm $n$ để $2^n+3$ và $2^n+5$ là số nguyên tố
+ Xét $n=1,3$ ta thấy t/m
+ Xét $n \geq 4$ thì nếu $n$ chẵn thì $2^n+5$ chia hết cho $3$
Vậy $n$ lẻ. Đặt $n=2k+1$, ta cần tìm $2.4^k+3$ và $2.4^k+5$ là số nguyên tố
Nếu $k$ chia hết cho $3$ thì $2.4^k+5$ chia hết cho $7$
Nếu $k \equiv 2 (mod 3)$ thì $2.4^k+3$ chia hết cho $7$
Vậy $k \equiv 1 (mod 3)$ mặt khác xét mod $5$ dễ thấy $k$ chẵn thì $2.4^k+3$ chia hết cho $54 vô lí
Vậy $k$ lẻ, $k \equiv 1 (mod 3)$ nên $k=6l+1$
Khi đó $2^n+5=2^{12l+3}+5=8+5=0(mod 13)$ (Định lí $Fermat$ nhỏ) vô lí
Vậy chỉ có $n=1,3$ là nghiệm của bài toán và ta có ĐPCM
Bài $6$:
Câu $b$ thiếu đề thì phải
Ta có $CRS=CHS=CPQ$ nên $(PSRQ)$ nt 
Dễ thấy $PQ//AB$ nên $APQB$ là ht cân tức $MP=MQ (2)$
Gọi $E, F$ là chân đg cao từ $A,B$. Khi đó $H,S,F,C,E,R$ đồng viên mà $SCF=RCE$ ($AP, AQ$ đẳng giác) nên $REFS$ là ht cân
Khi đó $RS, EF$ có chung trục đx mà $ME=MF$ nên $MR=MS (2)$
Từ $(1)(2)$ kết hợp với $(PSRQ)$ là tg nt nên $M$ là tâm $(PQRS)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhaan2209: 23-09-2018 - 13:36





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh