Đến nội dung

Hình ảnh

$f(m+n)+f(mn)=f(m)f(n)+1$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Thong Nhat

Thong Nhat

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 53 Bài viết

1) Tìm $f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$ thỏa mãn: $f(m+n)+f(mn)=f(m)f(n)+1$ $\forall m,n\in \mathbb{Z}$

2) Tìm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:

i/ $f(x+y)=f(x)+f(y),\forall x,y\in \mathbb{R}$

ii/ $f(x)f(\frac{1}{x})=1, \forall x\neq 0$

3) Cho $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:

i/ $f(x)\leq f(y),\forall x\leq y$

ii/ $f(x+2018)=f(x),\forall x\in \mathbb{R}$

Chứng minh f là hàm hằng


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thong Nhat: 23-09-2018 - 09:49


#2
pcoVietnam02

pcoVietnam02

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết

1) Tìm $f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$ thỏa mãn: $f(m+n)+f(mn)=f(m)f(n)+1$ $\forall m,n\in \mathbb{Z}$

 

Đặt $a=f(1)$
 
$P(0,0)$ $\implies$ $f(0)=1$
$P(1,1)$ $\implies$ $f(2)=a^2-a+1$
$P(2,1)$ $\implies$ $f(3)=a^3-2a^2+2a$
$P(3,1)$ $\implies$ $f(4)=a^4-3a^3+4a^2-2a+1$
$P(2,2)$ $\implies$ $2f(4)=a^4-2a^3+3a^2-2a+2$
 
Suy ra $a^4-2a^3+3a^2-2a+2=2a^4-6a^3+8a^2-4a+2$
$\Leftrightarrow$ $a(a-1)^2(a-2)=0$
 
1) $a=0$
Suy ra $f(0)=1$ và $f(1)=0$ 
$P(x,1)$ $\Rightarrow$ $f(x+1)=1-f(x)$ suy ra $f(2n)=1$ và $f(2n+1)=0$
Suy ra $\boxed{\text{S1 : }f(x)=\frac{1+(-1)^x}2\quad\forall x\in\mathbb Z}$, thử lại thấy thỏa mãn.
 
2) $a=1$
$P(x-1,1)$ $\implies$ $\boxed{\text{S2 : }f(x)=1\quad\forall x\in\mathbb Z}$,thử lại thấy thỏa mãn.
 
3) $a=2$
Suy ra $f(0)=1$ và $f(1)=2$ 
$P(x,1)$ $\Rightarrow$ $f(x+1)=f(x)+1$
Suy ra $\boxed{\text{S3 : }f(x)=x+1\quad\forall x\in\mathbb Z}$, thử lại thấy thỏa mãn.





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh