Cho $x, y, z > 0$ biết $x+y+z=xyz$. Tìm GTNN S = $\frac{x}{y^2}$ + $\frac{y}{z^2}$ + $\frac{z}{x^2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tea Coffee: 01-10-2018 - 19:10
Cho $x, y, z > 0$ biết $x+y+z=xyz$. Tìm GTNN S = $\frac{x}{y^2}$ + $\frac{y}{z^2}$ + $\frac{z}{x^2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tea Coffee: 01-10-2018 - 19:10
đặt $a=\frac{1}{x}$ tương tự $b,c$ rồi áp dụng Cauchy Schwarz á bạn
myfb : www.facebook.com/votiendung.0805
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~o0o~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
SỢ HÃI giúp ta tồn tại
NGHỊ LỰC giúp ta đứng vững
KHÁT VỌNG giúp ta tiến về phía trước
Võ Tiến Dũng
Cho x, y, z > 0 biết x+y+z=xyz . Tìm min S = $\frac{x}{y^2}$ + $\frac{y}{z^2}$ + $\frac{z}{x^2}$
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
$\frac{x}{y^2}+\frac{\sqrt{3}}{xy}+\frac{1}{\sqrt{3}}\ge 3\sqrt[3]{\frac{x}{y^2}.\frac{\sqrt{3}}{xy}.\frac{1}{\sqrt{3}}}=\frac{3}{y}$.
Tương tự rồi cộng lại ta được:
$\sum \frac{x}{y^2}+\sqrt{3}\sum \frac{1}{xy}+\sqrt{3}\ge 3\sum \frac{1}{x}(1)$.
Theo giả thiết : $x+y+z=xyz\iff \sum \frac{1}{xy}=1$.
Do đó $(1)\iff \sum \frac{x}{y^2}\ge 3\sum \frac{1}{x}-2\sqrt{3}(2)$.
Mặt khác: $(\sum \frac{1}{x})^2\ge 3\sum \frac{1}{xy}=3\implies \sum \frac{1}{x}\ge \sqrt{3}$.
Do đó $(2)\iff \sum \frac{x}{y^2}\ge \sqrt{3}$.
Vậy $S_{min}=\sqrt{3}$. Dấu $=$ xảy ra tại $x=y=z=\sqrt{3}$.
Ta đặt $x,\,y,\,z= \frac{1}{a},\,\frac{1}{b},\,\frac{1}{c}$, giả thiết đổi thành $ab+ bc+ ca= 1,\,a,\,b,\,c> 1$
Bài toán này [đã quá quen thuộc không ít lần!], có thể biến đổi về dạng như tìm giá trị nhỏ nhất của: $\sum\limits_{cyc} \frac{a^{2}\left ( 1- 2\,b \right )}{b}+ 2\sum\limits_{cyc} a^{2}$
Giống với:
https://diendantoanh...yz/#entry711155
Và:
https://diendantoanh...-2/#entry711543
Kết hợp với: $\sum a^{2}\geqq \sum ab= 1$, ta có: $\sum\limits_{cyc} \frac{x}{y^{2}}\geqq \sqrt{3}$
Dấu bằng xảy ra khi: $x= y= z= \sqrt{3}$ hay $a= b= c= \frac{1}{\sqrt{3}}$, thử lại ta có:
$\sum\limits_{cyc}\frac{a^{2}\left ( 1- 2\,b \right )}{b}= \sqrt{3} - 2$
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh