Chủ đề này có 3 trả lời

[NguyenHoaiTrung]

Nguồn:facebook

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NguyenHoaiTrung: 24-09-2018 - 20:03

[Kim Vu]

Nguồn:facebook

Bài 2
Quy nạp:$u_{n}>0;u_{n+1}>u_{n},\forall n\in \mathbb{N^{*}}$
Giả sử $(u_{n})$ bị chặn trên thì tồn tại $limu_{n}=a\geq 0$
Chuyển qua giới hạn suy ra $a=-1$ mâu thuẫn
Suy ra$u_{n} \rightarrow +\infty$
Ta có:
$u_{n+1}-u_{n}=(u_{n}+1)^2;u_{n+1}+1=(u_{n}+1)(u_{n}+2)\Rightarrow \frac{1}{u_{n}+2}=\frac{u_{n+1}-u_{n}}{u_{n+1}u_{n}}=\frac{1}{u_{n}}-\frac{1}{u_{n+1}}$
Do đó $v_{n}=1-\frac{1}{u_{n+1}}$ suy ra lim $v_{n}=1$
Bài 3
a)Gọi 100 số tự nhiên là $x_{1},x_{2}...x_{100}$
$x_{1}+x_{2}+...+x_{100}=200;x_{1},x_{2}...x_{100} \leq 100$
TH1: $x_{1}=x_{2}=...=x_{100}=2$ ta có ngay ĐPCM
TH2: Tồn tại $i,j:x_{i} \neq x_{j}$ 
Giả sử $x_{1} \neq x_{2}$
Xét dãy $x_{1},x_{2},x_{1}+x_{2},x_{1}+x_{2}+x_{3},...,x_{1}+x_{2}+...+x_{99}$ chứa các số hạng đều nhỏ hơn 200
Nếu có ít nhất 1 số trong dãy chia hết cho 100 thì số đó phải bằng 100 và đó là tổng cần tìm
Nếu mọi số hạng của dãy đều không chia hết cho 100
Dãy chứa 100 số mà chia 100 dư 1,2,..,99 nên theo nguyên lí Dirichlet tồn tại 2 số hạng của dãy đồng dư với nhau theo mod 100
 $x_{1} \neq x_{2}$ và $x_{1},x_{2} \leq 100$ nên $x_{1}\not\equiv x_{2}(mod 100)$
Do đó 2 số hạng của dãy đồng dư mod 100 thì hiệu của chúng phải bằng 100 và chính là tổng cần tìm
b)$x^3y-x^3-1=2x^2+2x+y$
$\Rightarrow y(x^3-1)=x^3+2x^2+2x+1$

$\Rightarrow x^3-1\mid x^3+2x^2+2x+1$
$\Rightarrow  x^3-1 \mid x^3-1+2(x^2+x+1)$
$\Rightarrow x^3-1 \mid 2(x^2+x+1)$
$\Rightarrow x-1 \mid 2$
Từ đây tìm ra $x,y$

 

[nguyenhaan2209]

Bài $3$:

Gọi đgt qua $B$ vuông góc $AN$ cắt $AC$ tại $E$, $PN$ cắt $AC$ tại $D$, tia $Bx$ vuông góc $RD$

Dễ thấy $RD$ vuông góc $AC$, $AE=AB$ nên $B(AECx)=AE/AC=AB/AC=A(BCMN)=A(PQND)=R(PQND)$

Do $BA, BE, Bx$ lần lượt vuông góc với $RP, RN, RD$ nên $RQ$ vuông góc $BC$ và ta có ĐPCM 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhaan2209: 24-09-2018 - 10:24

[Kim Vu]

Bài 4
Đường đối trung của $\triangle ABC$ cắt $(ABC)$ tại $T$;$AN \cap (ABC)=S;PN\cap AC=V$
$L$ là điểm đối xứng $N$ qua $M$
Dễ suy ra $T$ là tâm vị tự quay biến $P \rightarrow B,V\rightarrow C,Q \rightarrow L,R \rightarrow S,$

nên $\widehat{PRQ}=\widehat{BSL}$
Mặt khác do tính đối xứng nên $\widehat{BSL}=\widehat{NSC}=\widehat{ABC}$
Suy ra $\widehat{PRQ}=\widehat{ABC} (1)$
Gọi $ QR \cap BC=U$
Từ $(1)$ suy ra tứ giác $BPRU$ nội tiếp nên $\widehat{BRU}=90^{\circ} \Rightarrow QR \perp BC$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kim Vu: 25-09-2018 - 00:08